1116 Найдите площадь круга, описанного около: а) прямоугольника со сторонами а и в; б) прямоугольного треугольника с катетом а и противолежащим углом а; в) равнобедренного треугольника с основанием а и высотой п, проведённой к основанию.

Решение:

а) Площадь круга, описанного около прямоугольника со сторонами a и b.

Радиус описанного круга равен половине диагонали прямоугольника. Диагональ прямоугольника можно найти по теореме Пифагора:

$$d = \sqrt{a^2 + b^2}$$, где d – диагональ прямоугольника.

Радиус R равен:

$$R = \frac{d}{2} = \frac{\sqrt{a^2 + b^2}}{2}$$

Площадь круга вычисляется по формуле:

$$S = \pi R^2 = \pi \left(\frac{\sqrt{a^2 + b^2}}{2}\right)^2 = \frac{\pi}{4}(a^2 + b^2)$$

Ответ: $$S = \frac{\pi}{4}(a^2 + b^2)$$

---

б) Площадь круга, описанного около прямоугольного треугольника с катетом a и противолежащим углом α.

В прямоугольном треугольнике радиус описанной окружности равен половине гипотенузы. Сначала найдем гипотенузу с помощью синуса угла α:

$$\sin(\alpha) = \frac{a}{c}$$, где c – гипотенуза.

$$c = \frac{a}{\sin(\alpha)}$$

Радиус R равен:

$$R = \frac{c}{2} = \frac{a}{2\sin(\alpha)}$$

Площадь круга:

$$S = \pi R^2 = \pi \left(\frac{a}{2\sin(\alpha)}\right)^2 = \frac{\pi a^2}{4\sin^2(\alpha)}$$

Ответ: $$S = \frac{\pi a^2}{4\sin^2(\alpha)}$$

---

в) Площадь круга, описанного около равнобедренного треугольника с основанием a и высотой h, проведённой к основанию.

Радиус описанной окружности можно найти по формуле:

$$R = \frac{abc}{4S_{\triangle}}$$, где a, b, c – стороны треугольника, $$S_{\triangle}$$ – площадь треугольника.

В равнобедренном треугольнике две стороны равны. Площадь треугольника:

$$S_{\triangle} = \frac{1}{2}ah$$

Боковую сторону b найдем по теореме Пифагора, рассмотрев половину основания и высоту:

$$b = \sqrt{h^2 + (a/2)^2} = \sqrt{h^2 + \frac{a^2}{4}}$$

Тогда радиус описанной окружности равен:

$$R = \frac{a \cdot b \cdot b}{4 \cdot \frac{1}{2}ah} = \frac{ab^2}{2ah} = \frac{b^2}{2h} = \frac{h^2 + \frac{a^2}{4}}{2h} = \frac{4h^2 + a^2}{8h}$$

Площадь круга:

$$S = \pi R^2 = \pi \left(\frac{4h^2 + a^2}{8h}\right)^2 = \frac{\pi(4h^2 + a^2)^2}{64h^2}$$

Ответ: $$S = \frac{\pi(4h^2 + a^2)^2}{64h^2}$$