Найдите площадь осевого сечения. Через образующую цилиндра, которая равна 5, проведено два сечения, из которых одно — осевое, сторона меньшего сечения равна 4, угол между плоскостями сечений равен 60°.

Осевое сечение цилиндра — прямоугольник со сторонами высоты цилиндра и диаметра основания. Высота равна образующей: \(h=5\).

Пусть радиус основания равен \(R\), а расстояние от центра основания до хорды, задающей меньшее сечение, равно \(d\). Сечения проходят через одну и ту же образующую. Угол между их плоскостями равен углу между следами этих плоскостей в плоскости основания, поэтому \(d=R\cos 60^\circ=R/2\).

Меньшее сечение — прямоугольник с высотой 5 и шириной хорды \(2\sqrt{R^2-d^2}\). По условию его сторона равна 4. Поскольку эта хорда меньше диаметра, равенство \(2\sqrt{R^2-d^2}=4\) дало бы \(R=2\sqrt{2}\), но тогда ширина осевого сечения была бы \(2R=4\sqrt{2}\). Однако изображённое меньшее сечение имеет сторону 4, и его второй размер — образующая 5; значит, указанная сторона 4 — расстояние между параллельными образующими, то есть ширина хорды.

Подставим \(d=R/2\): \(4=2\sqrt{R^2-(R/2)^2}=R\sqrt{3}\), откуда \(R=4/\sqrt{3}\).

Площадь осевого сечения: \(S=2R\cdot h=2\cdot(4/\sqrt{3})\cdot5=40/\sqrt{3}=40\sqrt{3}/3\).

Ответ: \(40\sqrt{3}/3\).