6. Найдите площадь прямоугольника, диагональ которого в 2,6 раза больше одной из сторон и на 3 см больше другой стороны.

Пусть одна сторона прямоугольника равна $$x$$ см, тогда диагональ равна $$2,6x$$ см, а другая сторона $$x + 3$$ см. По теореме Пифагора:

$$(2,6x)^2 = x^2 + (x+3)^2$$

$$6,76x^2 = x^2 + x^2 + 6x + 9$$

$$6,76x^2 - 2x^2 - 6x - 9 = 0$$

$$4,76x^2 - 6x - 9 = 0$$

Решим квадратное уравнение:

$$D = b^2 - 4ac = (-6)^2 - 4 \cdot 4,76 \cdot (-9) = 36 + 171,36 = 207,36$$

$$\sqrt{D} = \sqrt{207,36} = 14,4$$

$$x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{6 + 14,4}{2 \cdot 4,76} = \frac{20,4}{9,52} \approx 2,14$$

$$x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{6 - 14,4}{2 \cdot 4,76} = \frac{-8,4}{9,52} \approx -0,88$$ (не подходит, так как длина стороны не может быть отрицательной)

Таким образом, одна сторона равна $$x \approx 2,14$$ см, а другая сторона $$x + 3 \approx 2,14 + 3 = 5,14$$ см.

Площадь прямоугольника равна:

$$S = x(x+3) \approx 2,14 \cdot 5,14 \approx 10,9996 \approx 11$$ см$$^2$$.

Ответ: Площадь прямоугольника приблизительно равна 11 см².