Найдите площадь равнобедренной трапеции, если её основания равны 12 и 26, а один из углов между боковой стороной и основанием равен 45°.

Решение:

Пусть основания трапеции равны \( a = 12 \) и \( b = 26 \), а угол при основании \( \alpha = 45^{\circ} \).

Площадь трапеции вычисляется по формуле: \( S = \frac{a+b}{2} \cdot h \), где \( h \) — высота трапеции.

Высоту трапеции можно найти, если провести её из вершины тупого угла к большему основанию. Образуется прямоугольный треугольник, где один катет — высота \( h \), другой катет — \( x \), а гипотенуза — боковая сторона трапеции.

Разница между основаниями равна \( b - a = 26 - 12 = 14 \).

Эта разница делится пополам на два отрезка \( x \) по краям от высот, проведённых из вершин тупых углов:

\( x = \frac{b-a}{2} = \frac{14}{2} = 7 \)

В прямоугольном треугольнике, образованном высотой, отрезком \( x \) и боковой стороной:

\( \tan \alpha = \frac{h}{x} \)

\( \tan 45^{\circ} = \frac{h}{7} \)

Так как \( \tan 45^{\circ} = 1 \), то \( h = 7 \).

Теперь найдём площадь трапеции:

\( S = \frac{12+26}{2} \cdot 7 = \frac{38}{2} \cdot 7 = 19 \cdot 7 = 133 \)

Ответ: 133