4. Найдите площадь равнобедренной трапеции, если её меньшее основание равно 4 см, боковая сторона 13 см, высота – 5 см.

Ответ: 45 см²

Для нахождения площади равнобедренной трапеции, нам нужно знать длины обоих оснований и высоту. Меньшее основание нам известно (4 см), высота тоже (5 см), нужно найти большее основание.

Опустим высоты из вершин меньшего основания на большее. Получим два прямоугольных треугольника по бокам и прямоугольник посередине.

Рассмотрим один из прямоугольных треугольников. Его гипотенуза - это боковая сторона трапеции (13 см), а один из катетов - это высота трапеции (5 см). Найдем второй катет (x) по теореме Пифагора:

\[x^2 + 5^2 = 13^2\]\[x^2 + 25 = 169\]\[x^2 = 144\]\[x = \sqrt{144}\]\[x = 12\]

Значит, отрезок большего основания, прилегающий к прямоугольному треугольнику, равен 12 см.

Так как трапеция равнобедренная, то таких отрезков два. Значит, большее основание равно:

\[4 + 2 \cdot 12 = 4 + 24 = 28\]

Теперь можем найти площадь трапеции по формуле:

\[S = \frac{(a + b) \cdot h}{2}\]

где a и b - основания, h - высота.

\[S = \frac{(4 + 28) \cdot 5}{2} = \frac{32 \cdot 5}{2} = \frac{160}{2} = 80\]

Таким образом, площадь трапеции равна 80 см².

Ответ: 80 см²