Найдите площадь равнобокой трапеции, основания которой равны 24 см и 40 см, а диагональ перпендикулярна боковой стороне.

Обозначим основания трапеции через \(a=24\) см и \(b=40\) см, а её высоту — через \(h\). В равнобокой трапеции горизонтальная проекция каждой боковой стороны равна \(\frac{b-a}{2}=\frac{40-24}{2}=8\) см.

Пусть диагональ перпендикулярна боковой стороне. Из условия перпендикулярности соответствующих векторов получаем:

\[h^2=8\cdot 40=320,\qquad h=8\sqrt5\text{ см}.\]

Площадь трапеции:

\[S=\frac{a+b}{2}\cdot h=\frac{24+40}{2}\cdot 8\sqrt5=32\cdot 8\sqrt5=256\sqrt5\text{ см}^2.\]

Ответ: \(256\sqrt5\text{ см}^2\).