Найдите площадь равностороннего треугольника со стороной а. Решение. SABC 1-2 AD, где отрезок AD треуголь- ника. В прямоугольном треугольнике ABD гипотенуза АВ равна ∠B = AD A противолежащий углу В. B D C Следовательно, sin B = AD , откуда AD = sin B = sin 60° = a. 2 Итак, SABC = 1 = √3 = a 2 Ответ.

Ответ: \(\frac{a^2 \sqrt{3}}{4}\)

1. В равностороннем треугольнике все углы равны 60°. Высота, проведенная к основанию, является также медианой и биссектрисой.

2. Рассмотрим прямоугольный треугольник ABD. Гипотенуза AB равна стороне равностороннего треугольника, то есть a. Угол ∠B = 60°.

3. Выразим AD через sin B: \[sin B = \frac{AD}{AB} = \frac{AD}{a}\] Отсюда: \[AD = a \cdot sin B = a \cdot sin 60°\]

4. Так как \(sin 60° = \frac{\sqrt{3}}{2}\), то: \[AD = a \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}\]

5. Теперь найдем площадь треугольника ABC: \[S_{ABC} = \frac{1}{2} \cdot AC \cdot AD = \frac{1}{2} \cdot a \cdot a \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{a^2 \sqrt{3}}{4}\]

Ответ: \(\frac{a^2 \sqrt{3}}{4}\)