Найдите площадь равностороннего треугольника со стороной а. Решение. SABC = 1/2 AC * , где отрезок ВН — треугольника. В прямоугольном треугольнике АВН гипотенуза АВ равна , ∠A= = BH, ВН — противолежащий углу А. Следователь- но, sin A = BH /, откуда ВН = x x sin A = * sin60°= : = = Итак, SABC=1/2 a * = a2. Ответ.

Решение:

• Так как треугольник равносторонний, то AC = a. Отрезок BH является высотой треугольника.
• В прямоугольном треугольнике ABH гипотенуза AB равна a, угол ∠A = 60°.
• Высота BH является противолежащим углу A катетом.
• Синус угла A равен отношению противолежащего катета к гипотенузе, то есть \[sin A = \frac{BH}{AB}.\]
• Выражаем BH через AB и sin A: \[BH = AB \cdot sin A = a \cdot sin 60°.\]
• Так как \[sin 60° = \frac{\sqrt{3}}{2},\] то \[BH = a \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}.\]
• Подставляем известные значения в формулу площади треугольника: \[S_{ABC} = \frac{1}{2} \cdot a \cdot BH = \frac{1}{2} a \cdot a \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{\sqrt{3}}{4} a^2.\]

Ответ: \[S_{ABC} = \frac{\sqrt{3}}{4} a^2\]