Найдите площадь Рома, сторона которого равна 25 см, а сумма диагоналей - 62 см.

Дано:

Ромб ABCD.

Сторона $$a = 25$$ см.

Сумма диагоналей $$d_1 + d_2 = 62$$ см.

Найти:

Площадь ромба $$S$$.

Решение:

Площадь ромба можно найти по формуле $$S = \frac{1}{2} d_1 d_2$$.

Диагонали ромба равны $$d_1$$ и $$d_2$$.

Также, диагонали ромба перпендикулярны и делятся точкой пересечения пополам. В точке пересечения они образуют 4 прямоугольных треугольника. В каждом таком треугольнике катеты равны $$\frac{d_1}{2}$$ и $$\frac{d_2}{2}$$, а гипотенуза равна стороне ромба $$a$$.

По теореме Пифагора:

$$\left(\frac{d_1}{2}\right)^2 + \left(\frac{d_2}{2}\right)^2 = a^2$$

$$\frac{d_1^2}{4} + \frac{d_2^2}{4} = a^2$$

$$d_1^2 + d_2^2 = 4a^2$$

Нам известно, что $$a = 25$$ см, значит $$4a^2 = 4 \cdot 25^2 = 4 \cdot 625 = 2500$$.

$$d_1^2 + d_2^2 = 2500$$.

Нам также известно, что $$d_1 + d_2 = 62$$ см.

Возведем это уравнение в квадрат:

$$(d_1 + d_2)^2 = 62^2$$

$$d_1^2 + 2d_1 d_2 + d_2^2 = 3844$$

Подставим $$d_1^2 + d_2^2 = 2500$$:

$$2500 + 2d_1 d_2 = 3844$$

$$2d_1 d_2 = 3844 - 2500$$

$$2d_1 d_2 = 1344$$

Теперь найдем площадь ромба $$S = \frac{1}{2} d_1 d_2$$.

Разделим обе части уравнения $$2d_1 d_2 = 1344$$ на 4:

$$\frac{2d_1 d_2}{4} = \frac{1344}{4}$$

$$\frac{1}{2} d_1 d_2 = 336$$

$$S = 336$$ см$$^2$$.

Ответ: Площадь ромба равна $$336$$ см$$^2$$.