6) Найдите площадь ромба, сторона которого равна 15 см, а сумма диагоналей – 42 см. 7) Основание равнобедренного треугольника равно 24 см. Найдите площадь треугольника, если отношение его боковой стороны к высоте, проведенной к основанию равно 12:10.

Задание 6

Смотри, тут всё просто: нужно найти площадь ромба, зная длину стороны и сумму диагоналей.

Пошаговое решение:

1. Пусть одна диагональ ромба равна \( d_1 \), а другая \( d_2 \). Тогда у нас есть два условия:
• \( d_1 + d_2 = 42 \) (сумма диагоналей)
• Сторона ромба равна 15 см.
2. Выразим одну диагональ через другую: \( d_1 = 42 - d_2 \).
3. Диагонали ромба перпендикулярны и делят друг друга пополам. Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный половинами диагоналей и стороной ромба. По теореме Пифагора:

\[\left(\frac{d_1}{2}\right)^2 + \left(\frac{d_2}{2}\right)^2 = 15^2\]

4. Подставим \( d_1 = 42 - d_2 \) в уравнение:

\[\left(\frac{42 - d_2}{2}\right)^2 + \left(\frac{d_2}{2}\right)^2 = 225\]

5. Упростим уравнение:

\[\frac{(42 - d_2)^2}{4} + \frac{d_2^2}{4} = 225\]

\[(42 - d_2)^2 + d_2^2 = 900\]

\[1764 - 84d_2 + d_2^2 + d_2^2 = 900\]

\[2d_2^2 - 84d_2 + 864 = 0\]

6. Разделим уравнение на 2:

\[d_2^2 - 42d_2 + 432 = 0\]

7. Решим квадратное уравнение относительно \( d_2 \). Дискриминант \( D = (-42)^2 - 4 \cdot 432 = 1764 - 1728 = 36 \).
8. Найдем корни:

\[d_2 = \frac{42 \pm \sqrt{36}}{2} = \frac{42 \pm 6}{2}\]

\[d_{2,1} = \frac{42 + 6}{2} = 24, \quad d_{2,2} = \frac{42 - 6}{2} = 18\]

9. Если \( d_2 = 24 \), то \( d_1 = 42 - 24 = 18 \). Если \( d_2 = 18 \), то \( d_1 = 42 - 18 = 24 \). Таким образом, диагонали равны 18 см и 24 см.
10. Площадь ромба равна половине произведения его диагоналей:

\[S = \frac{d_1 \cdot d_2}{2} = \frac{18 \cdot 24}{2} = 18 \cdot 12 = 216\]

Ответ: 216 см²

Задание 7

Разбираемся: тут нужно найти площадь равнобедренного треугольника, зная основание и отношение боковой стороны к высоте.

Пошаговое решение:

1. Основание равнобедренного треугольника равно 24 см. Пусть боковая сторона равна \( a \), а высота, проведенная к основанию, равна \( h \).
2. По условию, \( \frac{a}{h} = \frac{12}{10} \). Отсюда \( a = \frac{12}{10}h = 1.2h \).
3. Высота, проведенная к основанию равнобедренного треугольника, также является медианой. Значит, она делит основание пополам. Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный половиной основания, высотой и боковой стороной.
4. По теореме Пифагора:

\[h^2 + \left(\frac{24}{2}\right)^2 = a^2\]

\[h^2 + 12^2 = (1.2h)^2\]

\[h^2 + 144 = 1.44h^2\]

5. Упростим уравнение:

\[0.44h^2 = 144\]

\[h^2 = \frac{144}{0.44} = \frac{14400}{44} = \frac{3600}{11}\]

6. Найдем высоту:

\[h = \sqrt{\frac{3600}{11}} = \frac{60}{\sqrt{11}}\]

7. Площадь треугольника равна половине произведения основания на высоту:

\[S = \frac{1}{2} \cdot 24 \cdot \frac{60}{\sqrt{11}} = 12 \cdot \frac{60}{\sqrt{11}} = \frac{720}{\sqrt{11}}\]

8. Умножим числитель и знаменатель на \( \sqrt{11} \), чтобы избавиться от иррациональности в знаменателе:

\[S = \frac{720\sqrt{11}}{11} \approx \frac{720 \cdot 3.3166}{11} \approx \frac{2388}{11} \approx 217.09\]

Ответ: \(\frac{720\sqrt{11}}{11}\) см² ≈ 217.09 см²