Найдите площадь ромба, сторона которого равна 26 см, а одна из диагоналей на 28 см больше другой.

Геометрия: Площадь ромба

Дано:

• Сторона ромба: \( a = 26 \) см.
• Разница диагоналей: \( d_1 - d_2 = 28 \) см.

Найти: Площадь ромба \( S \).

Решение:

1. В ромбе диагонали пересекаются под прямым углом и делятся пополам. Это образует четыре прямоугольных треугольника. Сторона ромба является гипотенузой таких треугольников, а половины диагоналей — катетами.
2. Обозначим диагонали как \( d_1 \) и \( d_2 \). Из условия имеем \( d_1 = d_2 + 28 \).
3. По теореме Пифагора для одного из прямоугольных треугольников: \( \left(\frac{d_1}{2}\right)^2 + \left(\frac{d_2}{2}\right)^2 = a^2 \)
4. Подставим \( d_1 \): \( \left(\frac{d_2 + 28}{2}\right)^2 + \left(\frac{d_2}{2}\right)^2 = 26^2 \)
5. Упростим: \( \frac{(d_2 + 28)^2}{4} + \frac{d_2^2}{4} = 676 \)
6. Умножим обе части на 4: \( (d_2 + 28)^2 + d_2^2 = 2704 \)
7. Раскроем скобки: \( d_2^2 + 56d_2 + 784 + d_2^2 = 2704 \)
8. Приведём подобные слагаемые: \( 2d_2^2 + 56d_2 + 784 - 2704 = 0 \)
9. \( 2d_2^2 + 56d_2 - 1920 = 0 \)
10. Разделим на 2: \( d_2^2 + 28d_2 - 960 = 0 \)
11. Решим квадратное уравнение (через дискриминант или по теореме Виета). Найдем корни: \( d_2 = \frac{-28 \pm \sqrt{28^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-960)}}{2 \cdot 1} = \frac{-28 \pm \sqrt{784 + 3840}}{2} = \frac{-28 \pm \sqrt{4624}}{2} \)
12. \( \sqrt{4624} = 68 \)
13. \( d_2 = \frac{-28 \pm 68}{2} \)
14. Так как длина диагонали не может быть отрицательной, берём положительный корень: \( d_2 = \frac{-28 + 68}{2} = \frac{40}{2} = 20 \) см.
15. Теперь найдём первую диагональ: \( d_1 = d_2 + 28 = 20 + 28 = 48 \) см.
16. Площадь ромба вычисляется по формуле: \[ S = \frac{1}{2} d_1 d_2 \]
17. Подставим значения: \( S = \frac{1}{2} \cdot 48 \cdot 20 = 480 \) см².

Ответ: Площадь ромба равна 480 см².