1183 Найдите площадь S правильного п-угольника, если: а) п = 4, R = 3√2 см; б) п=3, P=24 см; в) п = 6, r=9 см; г) п=8, r = 5√3 см.

Решение:

а) Дано: правильный n-угольник, n=4, R=3√2 см.

Найти: S

Решение:

Площадь правильного многоугольника можно вычислить по формуле:

$$S = \frac{1}{2} n R^2 sin(\frac{2\pi}{n})$$

где n - количество сторон, R - радиус описанной окружности.

В данном случае, n=4, R=3√2 см:

$$S = \frac{1}{2} \cdot 4 \cdot (3\sqrt{2})^2 \cdot sin(\frac{2\pi}{4}) = 2 \cdot 9 \cdot 2 \cdot sin(\frac{\pi}{2}) = 36 \cdot 1 = 36$$

Ответ: 36 см²

б) Дано: правильный n-угольник, n=3, P=24 см.

Найти: S

Решение:

Сторона правильного треугольника равна:

$$a = \frac{P}{n} = \frac{24}{3} = 8$$

Площадь правильного треугольника равна:

$$S = \frac{a^2 \sqrt{3}}{4} = \frac{8^2 \sqrt{3}}{4} = \frac{64 \sqrt{3}}{4} = 16\sqrt{3}$$

Ответ: $$16\sqrt{3}$$ см²

в) Дано: правильный n-угольник, n=6, r=9 см.

Найти: S

Решение:

Площадь правильного многоугольника можно вычислить по формуле:

$$S = nr^2 tg(\frac{\pi}{n})$$

где n - количество сторон, r - радиус вписанной окружности.

В данном случае, n=6, r=9 см:

$$S = 6 \cdot 9^2 \cdot tg(\frac{\pi}{6}) = 6 \cdot 81 \cdot \frac{\sqrt{3}}{3} = 2 \cdot 81 \cdot \sqrt{3} = 162\sqrt{3}$$

Ответ: $$162\sqrt{3}$$ см²

г) Дано: правильный n-угольник, n=8, r=5√3 см.

Найти: S

Решение:

Площадь правильного многоугольника можно вычислить по формуле:

$$S = nr^2 tg(\frac{\pi}{n})$$

где n - количество сторон, r - радиус вписанной окружности.

В данном случае, n=8, r=5√3 см:

$$S = 8 \cdot (5\sqrt{3})^2 \cdot tg(\frac{\pi}{8}) = 8 \cdot 25 \cdot 3 \cdot tg(\frac{\pi}{8}) = 600 \cdot tg(\frac{\pi}{8})$$

Значение $$tg(\frac{\pi}{8})$$ можно найти как:

$$tg(\frac{\pi}{8}) = \sqrt{2} - 1$$

Тогда:

$$S = 600 \cdot (\sqrt{2} - 1)$$

Ответ: $$600(\sqrt{2} - 1)$$ см²