1094 Найдите площадь S правильного п-угольника, если: a) n=4, R=3√2 см; б) п=3, P=24 см; в) п=6, r=9 см; г) п=8, r=5√3 см.

Ответ:

а) Дано: \( n = 4 \), \( R = 3\sqrt{2} \) см. Это квадрат. Площадь квадрата можно найти как половину квадрата диагонали: \[ S = \frac{1}{2} d^2 \] Диагональ квадрата равна \( 2R \), где \( R \) - радиус описанной окружности. Следовательно, \( d = 2 \cdot 3\sqrt{2} = 6\sqrt{2} \) см. Тогда площадь: \[ S = \frac{1}{2} (6\sqrt{2})^2 = \frac{1}{2} \cdot 36 \cdot 2 = 36 \text{ см}^2 \] б) Дано: \( n = 3 \), \( P = 24 \) см. Это правильный треугольник. Сторона треугольника равна \( a = \frac{P}{3} = \frac{24}{3} = 8 \) см. Площадь правильного треугольника можно найти по формуле: \[ S = \frac{a^2 \sqrt{3}}{4} \] Подставляем значение стороны: \[ S = \frac{8^2 \sqrt{3}}{4} = \frac{64 \sqrt{3}}{4} = 16\sqrt{3} \text{ см}^2 \] в) Дано: \( n = 6 \), \( r = 9 \) см. Это правильный шестиугольник. Площадь правильного шестиугольника можно найти по формуле: \[ S = 2\sqrt{3} \cdot r^2 \] где \( r \) - радиус вписанной окружности. Подставляем значение радиуса: \[ S = 2\sqrt{3} \cdot 9^2 = 2\sqrt{3} \cdot 81 = 162\sqrt{3} \text{ см}^2 \] г) Дано: \( n = 8 \), \( r = 5\sqrt{3} \) см. Это правильный восьмиугольник. Площадь правильного восьмиугольника можно найти по формуле: \[ S = 2(1 + \sqrt{2}) \cdot a^2 \] где \( a \) - сторона восьмиугольника. Связь между стороной и радиусом вписанной окружности: \[ a = 2r(\sqrt{2} - 1) \] Подставляем значение радиуса: \[ a = 2 \cdot 5\sqrt{3} (\sqrt{2} - 1) = 10\sqrt{3} (\sqrt{2} - 1) \text{ см} \] Теперь найдем площадь: \[ S = 2(1 + \sqrt{2}) \cdot (10\sqrt{3} (\sqrt{2} - 1))^2 = 2(1 + \sqrt{2}) \cdot 100 \cdot 3 (\sqrt{2} - 1)^2 = 600(1 + \sqrt{2}) (2 - 2\sqrt{2} + 1) = 600(1 + \sqrt{2}) (3 - 2\sqrt{2}) = 600(3 - 2\sqrt{2} + 3\sqrt{2} - 4) = 600(\sqrt{2} - 1) \text{ см}^2 \] \[ S = 600(\sqrt{2} - 1) \approx 248.53 \text{ см}^2 \]

Проверка за 10 секунд: Убедись, что используешь правильные формулы площади для каждого многоугольника и внимательно подставляешь значения.

Доп. профит: Читерский прием: Запомни основные формулы площадей правильных многоугольников для быстрого решения задач.