Найдите площадь сечения А1С1NM.

Решение:

• Пусть сторона куба равна \( a \).
• Так как \( N \) - середина ребра \( DC \), то \( DN = NC = \frac{a}{2} \).
• Рассмотрим прямоугольный треугольник \( ADN \):
• \( AN = \sqrt{AD^2 + DN^2} = \sqrt{a^2 + (\frac{a}{2})^2} = \sqrt{a^2 + \frac{a^2}{4}} = \sqrt{\frac{5a^2}{4}} = \frac{a\sqrt{5}}{2} \).
• Сечение \( A_1C_1NM \) представляет собой прямоугольник, одна сторона которого \( A_1C_1 \) равна \( a\sqrt{2} \) (диагональ квадрата со стороной \( a \)), а другая сторона - \( AN = \frac{a\sqrt{5}}{2} \).
• Площадь прямоугольника \( A_1C_1NM \) равна:
• \( S = A_1C_1 \cdot AN = a\sqrt{2} \cdot \frac{a\sqrt{5}}{2} = \frac{a^2\sqrt{10}}{2} \).
• Так как куб единичный, то \( a = 1 \).
• Тогда площадь сечения равна \( S = \frac{\sqrt{10}}{2} \).

Ответ: \(\frac{\sqrt{10}}{2}\)