Найдите площадь сечения единичного куба ABCDA₁B₁C₁D₁ плоскостью, проходящей через середины рёбер AA₁, BB₁, A₁D₁.

Обозначим середины рёбер AA₁, BB₁ и A₁D₁ через M, N и P. Плоскость сечения пересекает также ребро B₁C₁ в его середине Q. Сечение — прямоугольник MNPQ.

Его стороны: MN = 1, а MP — диагональ прямоугольника со сторонами 1/2 и 1/2, поэтому \(MP=\sqrt{(1/2)^2+(1/2)^2}=\frac{\sqrt2}{2}\). Эти стороны перпендикулярны.

Площадь сечения: \(S=MN\cdot MP=1\cdot\frac{\sqrt2}{2}=\frac{\sqrt2}{2}\).

Ответ: \(\frac{\sqrt2}{2}\).