Найдите площадь трапеции ABCD, изображённой на рисунке 123 (длины отрезков даны в сантиметрах).

Для решения этой задачи нужно найти площади обеих трапеций, представленных на рисунке. **Часть а)** Рассмотрим трапецию ABCD, где AB = 12, BC = 7, CD = 10, и угол при основании AD равен 30 градусам. Опустим высоту BH из точки B на основание AD и высоту CK из точки C на основание AD. Пусть AH = x. Тогда, в прямоугольном треугольнике ABH: \[\sin(30^{\circ}) = \frac{BH}{AB}\] \[\frac{1}{2} = \frac{BH}{12}\] \[BH = 6\] Теперь найдем AH: \[\cos(30^{\circ}) = \frac{AH}{AB}\] \[\frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{x}{12}\] \[x = 6\sqrt{3}\] Проведем высоту CK. Так как трапеция равнобедренная, то KD = AH = $$6\sqrt{3}$$. Тогда AD = AH + HK + KD = $$6\sqrt{3}$$ + 7 + $$6\sqrt{3}$$ = 7 + $$12\sqrt{3}$$. Площадь трапеции равна: \[S = \frac{BC + AD}{2} \cdot BH = \frac{7 + 7 + 12\sqrt{3}}{2} \cdot 6 = (7 + 6\sqrt{3}) \cdot 6 = 42 + 36\sqrt{3}\] Площадь трапеции равна $$42 + 36\sqrt{3}$$ квадратных сантиметров. **Часть б)** Рассмотрим вторую трапецию ABCD, где AB = $$4\sqrt{2}$$, BC = 3, AD = 6 и угол при основании AD равен 45 градусам. Опустим высоту BH из точки B на основание AD. В прямоугольном треугольнике ABH: \[\sin(45^{\circ}) = \frac{BH}{AB}\] \[\frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{BH}{4\sqrt{2}}\] \[BH = 4\] Найдем AH: \[\cos(45^{\circ}) = \frac{AH}{AB}\] \[\frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{AH}{4\sqrt{2}}\] \[AH = 4\] Тогда HD = AD - AH = 6 - 3 = 3. Значит, $$HD=AD-AH = 6-4 = 2$$. Проведем высоту CK из точки C на основание AD. HK = BC = 3. Значит, KD = AD - AH - HK = AD - (AH + HK) = 6 - (4+3) = 6 - 3 = 2 Таким образом, KD = AD - BC - AH = 6 - 3 - 4 = -1 (ошибка в вычислениях, не может быть отрицательным). Исправим ошибку, у нас $$AH = 4$$, $$BC=3$$, значит $$HK = 3$$, а тогда $$KD=AD-AH-HK = 6 - 4 - 3= -1$$ (опять ошибка, разберем другое решение). Трапеция прямоугольная, следовательно, DC = BH = 4. Тогда площадь трапеции равна: \[S = \frac{BC + AD}{2} \cdot DC = \frac{3 + 6}{2} \cdot 4 = \frac{9}{2} \cdot 4 = 18\] Площадь трапеции равна **18** квадратных сантиметров.