269. Найдите площадь трапеции АВСD, изображённой на рисунке 41 (длины отрезков даны в сантиметрах). Рис. 41 B C B C 8 6 8 45° A D A D 16 6√3 a 6

Давай решим задачу 269. Нам нужно найти площадь трапеции $$ABCD$$. Рассмотрим оба случая, представленные на рисунке 41.

Случай а

В трапеции $$ABCD$$ основание $$AD = 16$$ см, боковая сторона $$AB = 8$$ см, $$CD = 6$$ см, и угол $$\angle A = 45^\circ$$.

Чтобы найти площадь трапеции, нам нужна высота. Опустим высоту $$BH$$ на основание $$AD$$. В прямоугольном треугольнике $$ABH$$ угол $$\angle A = 45^\circ$$, следовательно, $$\angle ABH = 45^\circ$$, и треугольник $$ABH$$ равнобедренный. Поэтому $$AH = BH = h$$.

Используем соотношения в прямоугольном треугольнике $$ABH$$:

\[\sin 45^\circ = \frac{BH}{AB} = \frac{h}{8}\] \[h = 8 \cdot \sin 45^\circ = 8 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = 4\sqrt{2}\]

Итак, высота трапеции $$BH = h = 4\sqrt{2}$$ см.

Теперь найдем второе основание $$BC$$. $$BC = AD - AH - KD$$, где $$KD$$ - проекция стороны $$CD$$ на $$AD$$. Так как у нас нет информации об угле $$D$$, мы не можем точно определить длину $$KD$$. Предположим, что трапеция равнобокая, тогда $$AH = KD$$. Тогда $$BC = AD - 2AH = 16 - 2 \cdot 4\sqrt{2} = 16 - 8\sqrt{2}$$ см.

Площадь трапеции равна:

\[S = \frac{AD + BC}{2} \cdot h = \frac{16 + 16 - 8\sqrt{2}}{2} \cdot 4\sqrt{2} = \frac{32 - 8\sqrt{2}}{2} \cdot 4\sqrt{2} = (16 - 4\sqrt{2}) \cdot 4\sqrt{2} = 64\sqrt{2} - 32\]

Площадь трапеции $$S = 64\sqrt{2} - 32 \approx 64.55$$ см$$^2$$

Случай б

В трапеции $$ABCD$$ основание $$AD = 6\sqrt{3}$$ см, боковая сторона $$CD = 8$$ см, и угол $$\angle D = 30^\circ$$, $$AB \perp AD$$.

Чтобы найти площадь трапеции, нам нужна высота. В данном случае, высота $$AB = h$$. В прямоугольном треугольнике, образованном боковой стороной $$CD$$, основанием $$AD$$ и высотой, проведенной из точки $$C$$, мы можем найти разницу между основаниями и высоту.

Проведем высоту $$CF$$ к основанию $$AD$$. В прямоугольном треугольнике $$CFD$$ угол $$\angle D = 30^\circ$$. Тогда:

\[\sin 30^\circ = \frac{CF}{CD} = \frac{h}{8}\] \[h = 8 \cdot \sin 30^\circ = 8 \cdot \frac{1}{2} = 4\]

Итак, высота трапеции $$CF = AB = h = 4$$ см.

\[\cos 30^\circ = \frac{FD}{CD} = \frac{FD}{8}\] \[FD = 8 \cdot \cos 30^\circ = 8 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 4\sqrt{3}\]

Теперь найдем второе основание $$BC$$. $$BC = AD - FD = 6\sqrt{3} - 4\sqrt{3} = 2\sqrt{3}$$ см.

Площадь трапеции равна:

\[S = \frac{AD + BC}{2} \cdot h = \frac{6\sqrt{3} + 2\sqrt{3}}{2} \cdot 4 = \frac{8\sqrt{3}}{2} \cdot 4 = 4\sqrt{3} \cdot 4 = 16\sqrt{3}\]

Площадь трапеции $$S = 16\sqrt{3} \approx 27.71$$ см$$^2$$