Найдите площадь трапеции с основаниями 10 и 35, и боковыми сторонами 15 и 20.

Для решения этой задачи, нам нужно найти высоту трапеции. Рассмотрим трапецию ABCD, где AB = 15, CD = 20, BC = 10 и AD = 35. 1. **Проведём высоты**: Опустим высоты BE и CF из точек B и C на основание AD. Тогда ABEF - прямоугольник, и EF = BC = 10. 2. **Обозначим**: Обозначим AE = x, тогда FD = AD - AE - EF = 35 - x - 10 = 25 - x. 3. **Выразим высоты**: Рассмотрим прямоугольные треугольники ABE и CDF. В обоих треугольниках высота (BE и CF) одинакова, так как это высота трапеции. Обозначим её за h. Используем теорему Пифагора для обоих треугольников: * В треугольнике ABE: \[AB^2 = AE^2 + BE^2 \]\[15^2 = x^2 + h^2 \]\[225 = x^2 + h^2 \] * В треугольнике CDF: \[CD^2 = FD^2 + CF^2 \]\[20^2 = (25 - x)^2 + h^2 \]\[400 = (25 - x)^2 + h^2 \] 4. **Решим систему уравнений**: У нас есть система уравнений: * \[x^2 + h^2 = 225 \] * \[(25 - x)^2 + h^2 = 400 \] Выразим h^2 из первого уравнения и подставим во второе: \[h^2 = 225 - x^2 \] \[(25 - x)^2 + 225 - x^2 = 400 \] Раскроем скобки: \[625 - 50x + x^2 + 225 - x^2 = 400 \] \[850 - 50x = 400 \] \[50x = 450 \] \[x = 9 \] 5. **Найдем высоту**: Теперь подставим x = 9 в первое уравнение, чтобы найти h: \[9^2 + h^2 = 225 \] \[81 + h^2 = 225 \] \[h^2 = 144 \] \[h = 12 \] 6. **Вычислим площадь трапеции**: Площадь трапеции вычисляется по формуле: \[S = \frac{a + b}{2} \cdot h \] где a и b - основания трапеции, а h - высота. В нашем случае: \[S = \frac{10 + 35}{2} \cdot 12 \]\[S = \frac{45}{2} \cdot 12 \]\[S = 45 \cdot 6 \]\[S = 270 \] **Ответ**: Площадь трапеции равна 270.