Найдите площадь треугольника ABC, если: а) ∠A = α, а высоты, проведённые из вершин B и C, соответственно равны h_b и h_c; б) ∠A = α, ∠B = β, а высота, проведённая [фрагмент условия обрезан], равна h.

а) Обозначим площадь треугольника через S. Тогда по формулам площади:

\(S=\frac12 b h_b\), поэтому \(b=\frac{2S}{h_b}\); аналогично \(S=\frac12 c h_c\), поэтому \(c=\frac{2S}{h_c}\).

С другой стороны, по двум сторонам и углу между ними:

\[S=\frac12bc\sin\alpha.\]

Подставим выражения для \(b\) и \(c\):

\[S=\frac12\cdot\frac{2S}{h_b}\cdot\frac{2S}{h_c}\sin\alpha.\]

Так как \(S\ne0\), получаем:

\[S=\frac{h_bh_c}{2\sin\alpha}.\]

Ответ: \(S=\frac{h_bh_c}{2\sin\alpha}\).

б) Существенная часть условия на фотографии обрезана: неясно, из какой вершины проведена высота, равная \(h\). Если высота проведена из вершины C к стороне AB, то \(h=b\sin\alpha\), откуда \(b=\frac{h}{\sin\alpha}\).

По теореме синусов:

\[\frac{c}{\sin\beta}=\frac{b}{\sin(\alpha+\beta)},\]

следовательно, \(c=\frac{h\sin(\alpha+\beta)}{\sin\alpha\sin\beta}\). Поэтому

\[S=\frac12ch=\frac{h^2\sin(\alpha+\beta)}{2\sin\alpha\sin\beta}.\]

Ответ при высоте из C: \(S=\frac{h^2\sin(\alpha+\beta)}{2\sin\alpha\sin\beta}\).

Для окончательного решения пункта б) нужно прислать нижнюю или правую часть изображения целиком.