Найдите площадь треугольника, образованного прямыми 2х+3у+7=0, y=x+1, x=4.

Решение:

1. Найдем точки пересечения прямых.
2. Точка пересечения прямых 2x+3y+7=0 и y=x+1:
   Подставим \( y = x+1 \) в первое уравнение:
   \[ 2x + 3(x+1) + 7 = 0 \]
   \[ 2x + 3x + 3 + 7 = 0 \]
   \[ 5x + 10 = 0 \]
   \[ 5x = -10 \]
   \[ x = -2 \]
   Теперь найдем y:
   \[ y = x + 1 = -2 + 1 = -1 \]
   Первая точка пересечения: \( A(-2; -1) \).
3. Точка пересечения прямых 2x+3y+7=0 и x=4:
   Подставим \( x = 4 \) в первое уравнение:
   \[ 2(4) + 3y + 7 = 0 \]
   \[ 8 + 3y + 7 = 0 \]
   \[ 3y + 15 = 0 \]
   \[ 3y = -15 \]
   \[ y = -5 \]
   Вторая точка пересечения: \( B(4; -5) \).
4. Точка пересечения прямых y=x+1 и x=4:
   Подставим \( x = 4 \) во второе уравнение:
   \[ y = 4 + 1 = 5 \]
   Третья точка пересечения: \( C(4; 5) \).
5. Треугольник образован вершинами \( A(-2; -1) \), \( B(4; -5) \), \( C(4; 5) \).
6. Заметим, что вершины B и C имеют одинаковую координату x = 4. Это означает, что сторона BC является вертикальной. Длина этой стороны равна разности y-координат: \( h = |5 - (-5)| = |5 + 5| = 10 \).
7. Высота треугольника, проведенная к стороне BC, будет иметь длину, равную горизонтальному расстоянию от точки A до прямой x=4. Это расстояние равно разности x-координат: \( b = |4 - (-2)| = |4 + 2| = 6 \).
8. Площадь треугольника вычисляется по формуле \( S = \frac{1}{2} \cdot основание \cdot высота \).
   \[ S = \frac{1}{2} \cdot 10 \cdot 6 = \frac{1}{2} \cdot 60 = 30 \]

Ответ: 30.