Найдите площадь треугольника, образованного прямыми 2х-y-1=0; y=-x-1; y=1.

Решение:

Чтобы найти площадь треугольника, образованного тремя прямыми, сначала найдем точки их пересечения, которые будут вершинами треугольника.

1. Пересечение прямых 2x - y - 1 = 0 и y = 1:
   Подставим y = 1 в первое уравнение:
   2x - 1 - 1 = 0
2x = 2
x = 1
   Точка пересечения A: (1, 1)
2. Пересечение прямых y = -x - 1 и y = 1:
   1 = -x - 1
x = -2
   Точка пересечения B: (-2, 1)
3. Пересечение прямых 2x - y - 1 = 0 и y = -x - 1:
   Подставим y = -x - 1 в первое уравнение:
   2x - (-x - 1) - 1 = 0
2x + x + 1 - 1 = 0
3x = 0
x = 0
   Теперь найдем y, подставив x = 0 во второе уравнение:
   y = -0 - 1
y = -1
   Точка пересечения C: (0, -1)

Теперь у нас есть вершины треугольника: A(1, 1), B(-2, 1), C(0, -1).

Для вычисления площади треугольника можно использовать формулу через координаты вершин, или найти длину основания и высоту.

Метод 1: Через основание и высоту.

Заметим, что точки A(1, 1) и B(-2, 1) имеют одинаковую координату y. Это значит, что отрезок AB является горизонтальным основанием треугольника. Длина основания AB равна разности x-координат:
Основание = |1 - (-2)| = |1 + 2| = 3.

Высота треугольника, опущенная из вершины C(0, -1) на основание AB (которое лежит на прямой y = 1), равна разности y-координат:
Высота = |1 - (-1)| = |1 + 1| = 2.

Площадь треугольника равна половине произведения основания на высоту:
Площадь = 0.5 * Основание * Высота
Площадь = 0.5 * 3 * 2 = 3.

Метод 2: Через определитель (формула с координатами вершин).

\( \text{Площадь} = \frac{1}{2} |(x_A(y_B - y_C) + x_B(y_C - y_A) + x_C(y_A - y_B))| \)
\( \text{Площадь} = \frac{1}{2} |(1(1 - (-1)) + (-2)(-1 - 1) + 0(1 - 1))| \)
\( \text{Площадь} = \frac{1}{2} |(1(2) + (-2)(-2) + 0(0))| \)
\( \text{Площадь} = \frac{1}{2} |(2 + 4 + 0)| \)
\( \text{Площадь} = \frac{1}{2} |6| = 3 \)

Ответ: 3