4. Найдите предел функции у = f(x) при х → x: a) f(x) = x² - 1, x → 1; B) f(x) = x2 7x + 6 x-6 , x → 6; 6) f(x) = sin²x, x 3π 2; г) f(x) x² - 9x + 14 2 x² - 49 , x → 7.

4. Найдите предел функции y = f(x) при x → x₀:

a) f(x) = x² - 1, x → 1

f(1) = 1² - 1 = 1 - 1 = 0

Ответ: 0

б) f(x) = \(\frac{x^2 - 7x + 6}{x - 6}\), x → 6

Разложим квадратный трехчлен x² - 7x + 6 на множители. Для этого найдем корни уравнения x² - 7x + 6 = 0.

D = (-7)² - 4 * 1 * 6 = 49 - 24 = 25

x₁ = \(\frac{7 + \sqrt{25}}{2}\) = \(\frac{7 + 5}{2}\) = 6

x₂ = \(\frac{7 - \sqrt{25}}{2}\) = \(\frac{7 - 5}{2}\) = 1

Тогда x² - 7x + 6 = (x - 6)(x - 1). Подставим в функцию:

f(x) = \(\frac{(x - 6)(x - 1)}{x - 6}\) = x - 1

Теперь подставим x = 6: f(6) = 6 - 1 = 5

Ответ: 5

в) f(x) = sin²x, x → \(\frac{3\pi}{2}\)

f(\( \frac{3\pi}{2} \)) = sin²(\( \frac{3\pi}{2} \)) = (-1)² = 1

Ответ: 1

г) f(x) = \(\frac{x^2 - 9x + 14}{x^2 - 49}\), x → 7

Разложим числитель x² - 9x + 14 на множители. Для этого найдем корни уравнения x² - 9x + 14 = 0.

D = (-9)² - 4 * 1 * 14 = 81 - 56 = 25

x₁ = \(\frac{9 + \sqrt{25}}{2}\) = \(\frac{9 + 5}{2}\) = 7

x₂ = \(\frac{9 - \sqrt{25}}{2}\) = \(\frac{9 - 5}{2}\) = 2

Тогда x² - 9x + 14 = (x - 7)(x - 2)

Разложим знаменатель x² - 49 на множители, используя формулу разности квадратов: x² - 49 = (x - 7)(x + 7)

Подставим разложения в функцию:

f(x) = \(\frac{(x - 7)(x - 2)}{(x - 7)(x + 7)}\) = \(\frac{x - 2}{x + 7}\)

Теперь подставим x = 7: f(7) = \(\frac{7 - 2}{7 + 7}\) = \(\frac{5}{14}\)

Ответ: \(\frac{5}{14}\)