Найдите, при каких значениях m прямая y = m имеет с графиком ровно две общие точки.

График функции состоит из трех частей:

1. Прямая y = -x + 1 при x ≤ 1. В точке x=1, y=0.
2. Прямая y = 1.5x - 1.5 при 1 < x ≤ 4. В точке x=1, y=0. В точке x=4, y=4.5.
3. Прямая y = -2.25x + 13.5 при x > 4. В точке x=4, y=-9+13.5=4.5.

График имеет разрывы в точках x=1 и x=4. На интервале (-∞, 1] функция убывает от +∞ до 0. На интервале (1, 4] функция возрастает от 0 до 4.5. На интервале (4, +∞) функция убывает от 4.5 до -∞.

Прямая y = m будет иметь ровно две общие точки с графиком в следующих случаях:

• Когда m находится между значениями функции в точках разрыва, но не включая их.
• Когда m равно значению функции в точке разрыва, но только если эта точка является концом интервала, где функция меняет направление.

Рассмотрим значения функции на границах интервалов:

• При x=1: y = -1 + 1 = 0.
• При x=1 (вторая часть): y = 1.5(1) - 1.5 = 0.
• При x=4 (вторая часть): y = 1.5(4) - 1.5 = 6 - 1.5 = 4.5.
• При x=4 (третья часть): y = -2.25(4) + 13.5 = -9 + 13.5 = 4.5.

График функции:

• На (-∞, 1] функция идет от +∞ до 0.
• На (1, 4] функция идет от 0 до 4.5.
• На (4, +∞) функция идет от 4.5 до -∞.

Чтобы прямая y = m имела ровно две общие точки с графиком, m должно быть:

• Больше 0 и меньше 4.5 (пересекает первую и третью части графика).
• Равно 4.5 (пересекает вторую и третью части графика в точке x=4 и еще раз на третьей части).

Таким образом, значения m, при которых прямая y = m имеет ровно две общие точки с графиком, это m ∈ (0, 4.5) ∪ {4.5}. Это можно записать как m ∈ (0, 4.5].

Ответ: (0, 4.5]