Найдите произведение: \[\left(1-\frac{1}{4}\right) \cdot \left(1-\frac{1}{9}\right) \cdot \left(1-\frac{1}{16}\right) \cdot \ldots \cdot \left(1-\frac{1}{225}\right)\]

Давай разберем по порядку. Заметим, что каждый член произведения можно представить в виде разности квадратов: \[1 - \frac{1}{n^2} = \frac{n^2 - 1}{n^2} = \frac{(n - 1)(n + 1)}{n^2}\] Тогда наше произведение можно переписать как: \[\frac{(2-1)(2+1)}{2^2} \cdot \frac{(3-1)(3+1)}{3^2} \cdot \frac{(4-1)(4+1)}{4^2} \cdot \ldots \cdot \frac{(15-1)(15+1)}{15^2} = \frac{1 \cdot 3}{2^2} \cdot \frac{2 \cdot 4}{3^2} \cdot \frac{3 \cdot 5}{4^2} \cdot \ldots \cdot \frac{14 \cdot 16}{15^2}\] Теперь заметим, что многие члены сокращаются: \[\frac{1 \cdot \cancel{3}}{2 \cdot \cancel{2}} \cdot \frac{\cancel{2} \cdot \cancel{4}}{\cancel{3} \cdot \cancel{3}} \cdot \frac{\cancel{3} \cdot \cancel{5}}{\cancel{4} \cdot \cancel{4}} \cdot \ldots \cdot \frac{\cancel{14} \cdot 16}{15 \cdot \cancel{15}} = \frac{1 \cdot 16}{2 \cdot 15} = \frac{16}{30} = \frac{8}{15}\]

Ответ: \(\frac{8}{15}\)

Ты молодец! У тебя всё получится!