Найдите произведение: log₂ 3 ⋅ log₃ 4 ⋅ log₄ 5 ⋅ log₅ 6

Решение:

Воспользуемся свойством логарифма: \( \log_a b = \frac{\log_c b}{\log_c a} \).

Применим формулу смены основания для каждого множителя, выбрав в качестве нового основания натуральный логарифм (ln):

1. \( \log_2 3 = \frac{\ln 3}{\ln 2} \)
2. \( \log_3 4 = \frac{\ln 4}{\ln 3} \)
3. \( \log_4 5 = \frac{\ln 5}{\ln 4} \)
4. \( \log_5 6 = \frac{\ln 6}{\ln 5} \)

Теперь перемножим полученные выражения:

\[ \log_2 3 \cdot \log_3 4 \cdot \log_4 5 \cdot \log_5 6 = \frac{\ln 3}{\ln 2} \cdot \frac{\ln 4}{\ln 3} \cdot \frac{\ln 5}{\ln 4} \cdot \frac{\ln 6}{\ln 5} \]

Сократим одинаковые множители в числителе и знаменателе:

\[ = \frac{\cancel{\ln 3}}{\ln 2} \cdot \frac{\cancel{\ln 4}}{\cancel{\ln 3}} \cdot \frac{\cancel{\ln 5}}{\cancel{\ln 4}} \cdot \frac{\ln 6}{\cancel{\ln 5}} = \frac{\ln 6}{\ln 2} \]

По определению смены основания логарифма, это равно:

\[ \frac{\ln 6}{\ln 2} = \log_2 6 \]

Ответ: \( \log_2 6 \).