Найдите произведение многочленов: (25u^{13}v^9w^{10}) \(\cdot\) (14uvw)(4vw^7 - 10u^2v^3). В ответе запишите многочлен в стандартном виде.

Решение:

Чтобы найти произведение многочленов, сначала перемножим первые два одночлена:

\( 25u^{13}v^9w^{10} \cdot 14uvw = (25 \cdot 14) \cdot (u^{13} \cdot u) \cdot (v^9 \cdot v) \cdot (w^{10} \cdot w) = 350u^{14}v^{10}w^{11} \)

Теперь умножим полученный одночлен на второй многочлен:

\( 350u^{14}v^{10}w^{11} \cdot (4vw^7 - 10u^2v^3) = \)

\[ (350u^{14}v^{10}w^{11}) \cdot (4vw^7) - (350u^{14}v^{10}w^{11}) \cdot (10u^2v^3) \]

Выполняем умножение:

\[ (350 \cdot 4) \cdot u^{14} \cdot v^{10+1} \cdot w^{11+7} - (350 \cdot 10) \cdot u^{14+2} \cdot v^{10+3} \cdot w^{11} \]

\[ 1400u^{14}v^{11}w^{18} - 3500u^{16}v^{13}w^{11} \]

Стандартный вид многочлена подразумевает запись членов в порядке убывания степеней переменных. Чаще всего переменные упорядочивают по алфавиту, а затем по убыванию степени. Однако, в данном случае, порядок членов определяется большей степенью главной переменной (например, u). Так как \( u^{16} \) имеет большую степень, чем \( u^{14} \), член с \( u^{16} \) должен идти первым.

Многочлен в стандартном виде:

\[ -3500u^{16}v^{13}w^{11} + 1400u^{14}v^{11}w^{18} \]

Ответ: \( -3500u^{16}v^{13}w^{11} + 1400u^{14}v^{11}w^{18} \).