Найдите произведение многочленов: (3xyz - 4x³y⁴)(7x³yz² + 5xz³) = В ответе запишите многочлен в стандартном виде.

Решение:

Для нахождения произведения многочленов используем распределительный закон умножения (каждый член первого многочлена умножается на каждый член второго многочлена).

\( (3xyz - 4x^3y^4)(7x^3yz^2 + 5xz^3) \)

1. Умножаем \( 3xyz \) на \( 7x^3yz^2 \):

\( (3xyz) \cdot (7x^3yz^2) = 3 \cdot 7 \cdot x^{1+3} \cdot y^{1+1} \cdot z^{1+2} = 21x^4y^2z^3 \)

2. Умножаем \( 3xyz \) на \( 5xz^3 \):

\( (3xyz) \cdot (5xz^3) = 3 \cdot 5 \cdot x^{1+1} \cdot y^1 \cdot z^{1+3} = 15x^2yz^4 \)

3. Умножаем \( -4x^3y^4 \) на \( 7x^3yz^2 \):

\( (-4x^3y^4) \cdot (7x^3yz^2) = -4 \cdot 7 \cdot x^{3+3} \cdot y^{4+1} \cdot z^2 = -28x^6y^5z^2 \)

4. Умножаем \( -4x^3y^4 \) на \( 5xz^3 \):

\( (-4x^3y^4) \cdot (5xz^3) = -4 \cdot 5 \cdot x^{3+1} \cdot y^4 \cdot z^3 = -20x^4y^4z^3 \)

5. Складываем полученные произведения:

\( 21x^4y^2z^3 + 15x^2yz^4 - 28x^6y^5z^2 - 20x^4y^4z^3 \)

6. Приводим подобные слагаемые (в данном случае подобных нет, так как степени переменных отличаются). Записываем в стандартном виде, упорядочивая по степеням переменных, например, по лексикографическому порядку:

\( -28x^6y^5z^2 + 21x^4y^2z^3 - 20x^4y^4z^3 + 15x^2yz^4 \)

Ответ: \( -28x^6y^5z^2 - 20x^4y^4z^3 + 21x^4y^2z^3 + 15x^2yz^4 \)