3. Найдите производную функции: • f(x) = 3x2 – 5x + 2 - • g(x) = sinx + 2cosx Уровень С (высокий) Вариант 3 1. Решите систему уравнений: ( { log2 x + log2 y = 3 x - y = 2 x-

Ответ:

Задание 3

• Производная функции f(x) = 3x² – 5x + 2:

Используем правило производной степенной функции: (xⁿ)' = nxⁿ⁻¹ и производной константы: (c)' = 0.

\[f'(x) = (3x^2)' - (5x)' + (2)'\]

\[f'(x) = 3(x^2)' - 5(x)' + 0\]

\[f'(x) = 3 \cdot 2x - 5 \cdot 1\]

\[f'(x) = 6x - 5\]

• Производная функции g(x) = sin x + 2 cos x:

Используем правила производной синуса: (sin x)' = cos x и производной косинуса: (cos x)' = -sin x.

\[g'(x) = (\sin x)' + 2(\cos x)'\]

\[g'(x) = \cos x + 2(-\sin x)\]

\[g'(x) = \cos x - 2 \sin x\]

Задание 1

Решим систему уравнений:

\[\begin{cases} \log_2 x + \log_2 y = 3 \\ x - y = 2 \end{cases}\]

Используем свойства логарифмов: logₐ x + logₐ y = logₐ (xy) и определение логарифма: если logₐ x = b, то x = aᵇ.

Преобразуем первое уравнение системы:

\[\log_2 (xy) = 3\]

\[xy = 2^3\]

\[xy = 8\]

Выразим x из второго уравнения системы:

\[x = y + 2\]

Подставим это выражение в первое уравнение:

\[(y + 2)y = 8\]

\[y^2 + 2y - 8 = 0\]

Решим квадратное уравнение через дискриминант:

\[D = 2^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-8) = 4 + 32 = 36\]

\[y_1 = \frac{-2 + \sqrt{36}}{2} = \frac{-2 + 6}{2} = \frac{4}{2} = 2\]

\[y_2 = \frac{-2 - \sqrt{36}}{2} = \frac{-2 - 6}{2} = \frac{-8}{2} = -4\]

Найдем соответствующие значения x:

Если y = 2, то x = y + 2 = 2 + 2 = 4.

Если y = -4, то x = y + 2 = -4 + 2 = -2.

Проверим полученные решения на допустимость в логарифмах (x > 0, y > 0):

Пара (4, 2) подходит, так как оба значения положительные.

Пара (-2, -4) не подходит, так как оба значения отрицательные.

Ответ:

Ответ: Производная f'(x) = 6x - 5, Производная g'(x) = cos x - 2 sin x, Решение системы: x = 4, y = 2