Найдите производную функции (1-4). 1. y = In (2 - 4x). 2. y = xlog3x. 3. y = In x 4 X 4. y = log2 X cigx

• Производная сложной функции: \( (ln(u))' = \frac{u'}{u} \)
• В нашем случае: \( u = 2 - 4x \), \( u' = -4 \)

Тогда:

\[ y' = \frac{(2 - 4x)'}{2 - 4x} = \frac{-4}{2 - 4x} = \frac{-2}{1 - 2x} \]

• Представим корень в виде степени: \( \sqrt[3]{x} = x^{\frac{1}{3}} \)
• Производная произведения: \( (uv)' = u'v + uv' \)
• В нашем случае: \( u = x^{\frac{1}{3}} \), \( v = log_3 x \)
• Производные: \( u' = \frac{1}{3}x^{-\frac{2}{3}} \), \( v' = \frac{1}{x ln(3)} \)

Тогда:

\[ y' = (x^{\frac{1}{3}})' log_3 x + x^{\frac{1}{3}} (log_3 x)' = \frac{1}{3}x^{-\frac{2}{3}} log_3 x + x^{\frac{1}{3}} \frac{1}{x ln(3)} = \frac{log_3 x}{3x^{\frac{2}{3}}} + \frac{1}{x^{\frac{2}{3}} ln(3)} \]

• Производная частного: \( (\frac{u}{v})' = \frac{u'v - uv'}{v^2} \)
• В нашем случае: \( u = ln x \), \( v = x^4 \)
• Производные: \( u' = \frac{1}{x} \), \( v' = 4x^3 \)

Тогда:

\[ y' = \frac{(\frac{1}{x})x^4 - (ln x)(4x^3)}{(x^4)^2} = \frac{x^3 - 4x^3 ln x}{x^8} = \frac{1 - 4 ln x}{x^5} \]

• Производная частного: \( (\frac{u}{v})' = \frac{u'v - uv'}{v^2} \)
• В нашем случае: \( u = log_2 x \), \( v = ctg x \)
• Производные: \( u' = \frac{1}{x ln(2)} \), \( v' = -\frac{1}{sin^2 x} \)

Тогда:

\[ y' = \frac{(\frac{1}{x ln(2)})ctg x - (log_2 x)(-\frac{1}{sin^2 x})}{ctg^2 x} = \frac{\frac{ctg x}{x ln(2)} + \frac{log_2 x}{sin^2 x}}{ctg^2 x} \]