Найдите производную функции: c) g(x) = (x³ + 6x – 3)(x + 1); d) g(x) = (4x-7)/(x²+4).

Решение:

Для нахождения производных используем правило произведения и правило частного.

• Правило произведения: \( (u · v)' = u'v + uv' \)
• Правило частного: \( \left(\frac{u}{v}\right)' = \frac{u'v - uv'}{v^2} \)

c) g(x) = (x³ + 6x – 3)(x + 1)

Пусть \( u = x³ + 6x – 3 \) и \( v = x + 1 \).

Найдём производные \( u' \) и \( v' \):

\[ u' = (x^3 + 6x - 3)' = 3x^2 + 6 \]\[ v' = (x + 1)' = 1 \]

Применим правило произведения:

\[ g'(x) = u'v + uv' = (3x^2 + 6)(x + 1) + (x^3 + 6x - 3)(1) \]\[ g'(x) = (3x^3 + 3x^2 + 6x + 6) + (x^3 + 6x - 3) \]\[ g'(x) = 3x^3 + x^3 + 3x^2 + 6x + 6x + 6 - 3 \]\[ g'(x) = 4x^3 + 3x^2 + 12x + 3 \]

d) g(x) = (4x-7)/(x²+4)

Пусть \( u = 4x - 7 \) и \( v = x^2 + 4 \).

Найдём производные \( u' \) и \( v' \):

\[ u' = (4x - 7)' = 4 \]\[ v' = (x^2 + 4)' = 2x \]

Применим правило частного:

\[ g'(x) = \frac{u'v - uv'}{v^2} = \frac{4(x^2 + 4) - (4x - 7)(2x)}{(x^2 + 4)^2} \]\[ g'(x) = \frac{(4x^2 + 16) - (8x^2 - 14x)}{(x^2 + 4)^2} \]\[ g'(x) = \frac{4x^2 + 16 - 8x^2 + 14x}{(x^2 + 4)^2} \]\[ g'(x) = \frac{-4x^2 + 14x + 16}{(x^2 + 4)^2} \]

Ответ:

c) \( g'(x) = 4x^3 + 3x^2 + 12x + 3 \)

d) \( g'(x) = \frac{-4x^2 + 14x + 16}{(x^2 + 4)^2} \)