Найдите производную функции: 1) y = 8x9 – 3x5 + 6x3 – 2; 2) y = \frac{1}{5}x10 + 4√x - 3x; 3) y = x - \frac{2}{x^2}; 4) y = \frac{5}{x^7} - \frac{2}{x^5}; 1) у = (x² - 5)(x² + 4); 2) y = √x(2x² + 4); 3) y = (√x – 8)(9 – 7√x);

1) Найдём производную функции $$y = 8x^9 - 3x^5 + 6x^3 - 2$$.

Используем правило производной степенной функции: $$(x^n)' = nx^{n-1}$$.

$$y' = (8x^9)' - (3x^5)' + (6x^3)' - (2)' = 8 \cdot 9x^8 - 3 \cdot 5x^4 + 6 \cdot 3x^2 - 0 = 72x^8 - 15x^4 + 18x^2$$

Ответ: $$y' = 72x^8 - 15x^4 + 18x^2$$

2) Найдём производную функции $$y = \frac{1}{5}x^{10} + 4\sqrt{x} - 3x$$.

Используем правила: $$(x^n)' = nx^{n-1}$$ и $$(\sqrt{x})' = \frac{1}{2\sqrt{x}}$$.

$$y' = (\frac{1}{5}x^{10})' + (4\sqrt{x})' - (3x)' = \frac{1}{5} \cdot 10x^9 + 4 \cdot \frac{1}{2\sqrt{x}} - 3 = 2x^9 + \frac{2}{\sqrt{x}} - 3$$

Ответ: $$y' = 2x^9 + \frac{2}{\sqrt{x}} - 3$$

3) Найдём производную функции $$y = x - \frac{2}{x^2}$$.

Перепишем функцию как $$y = x - 2x^{-2}$$.

Используем правило производной степенной функции: $$(x^n)' = nx^{n-1}$$.

$$y' = (x)' - (2x^{-2})' = 1 - 2 \cdot (-2)x^{-3} = 1 + 4x^{-3} = 1 + \frac{4}{x^3}$$

Ответ: $$y' = 1 + \frac{4}{x^3}$$

4) Найдём производную функции $$y = \frac{5}{x^7} - \frac{2}{x^5}$$.

Перепишем функцию как $$y = 5x^{-7} - 2x^{-5}$$.

Используем правило производной степенной функции: $$(x^n)' = nx^{n-1}$$.

$$y' = (5x^{-7})' - (2x^{-5})' = 5 \cdot (-7)x^{-8} - 2 \cdot (-5)x^{-6} = -35x^{-8} + 10x^{-6} = -\frac{35}{x^8} + \frac{10}{x^6}$$

Ответ: $$y' = -\frac{35}{x^8} + \frac{10}{x^6}$$

1) Найдём производную функции $$y = (x^2 - 5)(x^3 + 4)$$.

Используем правило производной произведения: $$(u \cdot v)' = u'v + uv'$$.

$$y' = (x^2 - 5)'(x^3 + 4) + (x^2 - 5)(x^3 + 4)' = 2x(x^3 + 4) + (x^2 - 5)(3x^2) = 2x^4 + 8x + 3x^4 - 15x^2 = 5x^4 - 15x^2 + 8x$$

Ответ: $$y' = 5x^4 - 15x^2 + 8x$$

2) Найдём производную функции $$y = \sqrt{x}(2x^2 + 4)$$.

Используем правило производной произведения: $$(u \cdot v)' = u'v + uv'$$.

$$y' = (\sqrt{x})'(2x^2 + 4) + (\sqrt{x})(2x^2 + 4)' = \frac{1}{2\sqrt{x}}(2x^2 + 4) + \sqrt{x}(4x) = \frac{2x^2 + 4}{2\sqrt{x}} + 4x\sqrt{x} = \frac{x^2 + 2}{\sqrt{x}} + 4x\sqrt{x} = \frac{x^2 + 2 + 4x^2}{\sqrt{x}} = \frac{5x^2 + 2}{\sqrt{x}}$$

Ответ: $$y' = \frac{5x^2 + 2}{\sqrt{x}}$$

3) Найдём производную функции $$y = (\sqrt{x} - 8)(9 - 7\sqrt{x})$$.

Используем правило производной произведения: $$(u \cdot v)' = u'v + uv'$$.

$$y' = (\sqrt{x} - 8)'(9 - 7\sqrt{x}) + (\sqrt{x} - 8)(9 - 7\sqrt{x})' = \frac{1}{2\sqrt{x}}(9 - 7\sqrt{x}) + (\sqrt{x} - 8)(-7 \cdot \frac{1}{2\sqrt{x}}) = \frac{9 - 7\sqrt{x}}{2\sqrt{x}} - \frac{7(\sqrt{x} - 8)}{2\sqrt{x}} = \frac{9 - 7\sqrt{x} - 7\sqrt{x} + 56}{2\sqrt{x}} = \frac{65 - 14\sqrt{x}}{2\sqrt{x}}$$

Ответ: $$y' = \frac{65 - 14\sqrt{x}}{2\sqrt{x}}$$