Найдите производную функции: 1) y = 8x9 – 3x5 + 6x3 – 2; 1 - 2) y = x10 + 4√x - 3x; 5 2 3) y = x - 2; 4) y = 2 5 y=; x7 x5 - - 1) у = (x² - 5)(x² + 4); 2) y = √x(2x² + 4); 3) y = (√x – 8)(9 – 7√x);

1) Найдите производную функции:

1. $$y = 8x^9 – 3x^5 + 6x^3 – 2$$

Решение:

Используем правило дифференцирования степенной функции: $$(x^n)' = nx^{n-1}$$

• Производная $$y' = 8 \cdot 9x^8 - 3 \cdot 5x^4 + 6 \cdot 3x^2 - 0$$
• $$y' = 72x^8 - 15x^4 + 18x^2$$

Ответ: $$y' = 72x^8 - 15x^4 + 18x^2$$

2. $$y = \frac{1}{5}x^{10} + 4\sqrt{x} - 3x$$

Решение:

• Преобразуем $$4\sqrt{x} = 4x^{\frac{1}{2}}$$
• Применим правило дифференцирования степенной функции: $$(x^n)' = nx^{n-1}$$
• Производная $$y' = \frac{1}{5} \cdot 10x^9 + 4 \cdot \frac{1}{2}x^{-\frac{1}{2}} - 3$$
• $$y' = 2x^9 + \frac{2}{\sqrt{x}} - 3$$

Ответ: $$y' = 2x^9 + \frac{2}{\sqrt{x}} - 3$$

3. $$y = x - \frac{2}{x^2}$$

Решение:

• Преобразуем $$y = x - 2x^{-2}$$
• Производная $$y' = 1 - 2 \cdot (-2)x^{-3}$$
• $$y' = 1 + \frac{4}{x^3}$$

Ответ: $$y' = 1 + \frac{4}{x^3}$$

4. $$y = \frac{5}{x^7} - \frac{2}{x^5}$$

Решение:

• Преобразуем $$y = 5x^{-7} - 2x^{-5}$$
• Производная $$y' = 5 \cdot (-7)x^{-8} - 2 \cdot (-5)x^{-6}$$
• $$y' = -35x^{-8} + 10x^{-6}$$
• $$y' = -\frac{35}{x^8} + \frac{10}{x^6}$$

Ответ: $$y' = -\frac{35}{x^8} + \frac{10}{x^6}$$

Вторая часть задания:

1. $$y = (x^2 - 5)(x^3 + 4)$$

Решение:

Используем правило произведения: $$(uv)' = u'v + uv'$$

• $$u = x^2 - 5, \quad u' = 2x$$
• $$v = x^3 + 4, \quad v' = 3x^2$$
• $$y' = 2x(x^3 + 4) + (x^2 - 5)(3x^2)$$
• $$y' = 2x^4 + 8x + 3x^4 - 15x^2$$
• $$y' = 5x^4 - 15x^2 + 8x$$

Ответ: $$y' = 5x^4 - 15x^2 + 8x$$

2. $$y = \sqrt{x}(2x^2 + 4)$$

Решение:

• Преобразуем $$y = x^{\frac{1}{2}}(2x^2 + 4)$$
• $$y = 2x^{\frac{5}{2}} + 4x^{\frac{1}{2}}$$
• $$y' = 2 \cdot \frac{5}{2}x^{\frac{3}{2}} + 4 \cdot \frac{1}{2}x^{-\frac{1}{2}}$$
• $$y' = 5x^{\frac{3}{2}} + 2x^{-\frac{1}{2}}$$
• $$y' = 5\sqrt{x^3} + \frac{2}{\sqrt{x}}$$

Ответ: $$y' = 5\sqrt{x^3} + \frac{2}{\sqrt{x}}$$

3. $$y = (\sqrt{x} – 8)(9 – 7\sqrt{x})$$

Решение:

• $$y = 9\sqrt{x} - 7x - 72 + 56\sqrt{x}$$
• $$y = 65\sqrt{x} - 7x - 72$$
• $$y' = 65 \cdot \frac{1}{2}x^{-\frac{1}{2}} - 7$$
• $$y' = \frac{65}{2\sqrt{x}} - 7$$

Ответ: $$y' = \frac{65}{2\sqrt{x}} - 7$$