Найдите производную функции y = 3x^2 - 4x + 1 и вычислите значение производной в точке x = 2.

Решение:

Для нахождения производной функции \( y = 3x^2 - 4x + 1 \) применим правила дифференцирования:

1. Производная степенной функции \( (x^n)' = nx^{n-1} \).
2. Производная от константы равна нулю.
3. Коэффициенты выносятся за знак производной.

Найдём производную функции:

\[ y' = (3x^2 - 4x + 1)' \]

\[ y' = (3x^2)' - (4x)' + (1)' \]

\[ y' = 3(x^2)' - 4(x)' + 0 \]

\[ y' = 3(2x^{2-1}) - 4(1x^{1-1}) \]

\[ y' = 6x^1 - 4x^0 \]

\[ y' = 6x - 4 \]

Теперь вычислим значение производной в точке \( x = 2 \):

\[ y'(2) = 6(2) - 4 \]

\[ y'(2) = 12 - 4 \]

\[ y'(2) = 8 \]

Ответ: Производная функции равна \( y' = 6x - 4 \), а её значение в точке \( x = 2 \) равно 8.