Найдите производную функции: a) f(x) = 2x² + 4; b) f(x) = 4x³ + 6x + 3. Найдите производную функции: a) g(x) = (x³ + 6x-3)(x + 1); b) g(x) = 4x-7 x²+4 Найдите производную функции в точке: f(x) = 4x³ - 2x + 117 В точке хо = -2.

Задание 1

Давай найдем производные функций по порядку:

a) f(x) = 2x² + 4

Для нахождения производной этой функции, вспомним, что производная x в степени n равна n * x в степени (n-1). Также производная константы равна 0.

\[f'(x) = 2 \cdot 2x^{2-1} + 0 = 4x\]

b) f(x) = 4x³ + 6x + 3

\[f'(x) = 4 \cdot 3x^{3-1} + 6 \cdot 1 + 0 = 12x^2 + 6\]

Задание 2

Теперь найдем производные следующих функций:

a) g(x) = (x³ + 6x - 3)(x + 1)

Здесь нужно воспользоваться правилом произведения: (u*v)' = u'v + uv'

Пусть u = x³ + 6x - 3, v = x + 1

Тогда u' = 3x² + 6, v' = 1

\[g'(x) = (3x^2 + 6)(x + 1) + (x^3 + 6x - 3)(1) = 3x^3 + 3x^2 + 6x + 6 + x^3 + 6x - 3 = 4x^3 + 3x^2 + 12x + 3\]

b) g(x) = (4x - 7) / (x² + 4)

Здесь нужно воспользоваться правилом частного: (u/v)' = (u'v - uv') / v²

Пусть u = 4x - 7, v = x² + 4

Тогда u' = 4, v' = 2x

\[g'(x) = \frac{4(x^2 + 4) - (4x - 7)(2x)}{(x^2 + 4)^2} = \frac{4x^2 + 16 - 8x^2 + 14x}{(x^2 + 4)^2} = \frac{-4x^2 + 14x + 16}{(x^2 + 4)^2}\]

Задание 3

Найдем производную функции f(x) = 4x³ - 2x + 117 в точке x₀ = -2.

Сначала найдем производную функции:

\[f'(x) = 4 \cdot 3x^2 - 2 + 0 = 12x^2 - 2\]

Теперь подставим x₀ = -2 в производную:

\[f'(-2) = 12 \cdot (-2)^2 - 2 = 12 \cdot 4 - 2 = 48 - 2 = 46\]

Ответ: 1) a) 4x, b) 12x^2 + 6; 2) a) 4x^3 + 3x^2 + 12x + 3, b) (-4x^2 + 14x + 16) / (x^2 + 4)^2; 3) 46

Ты отлично справился с заданием! Продолжай в том же духе, и у тебя все получится!