8. Найдите производную функции f(x) = \frac{1}{x} + 2x в точке x₀ = -1

Ответ: 1

Разбираемся:

Шаг 1: Находим производную функции

Дана функция: f(x) = \(\frac{1}{x} + 2x\)

Преобразуем функцию: f(x) = x^(-1) + 2x

Производная степенной функции: (x^n)' = n * x^(n-1)

Производная суммы: (u + v)' = u' + v'

Находим производную каждого слагаемого:

• Производная x^(-1): (x^(-1))' = -1 * x^(-1-1) = -x^(-2) = -\(\frac{1}{x^2}\)
• Производная 2x: (2x)' = 2

Объединяем производные:

f'(x) = -\(\frac{1}{x^2}\) + 2

Шаг 2: Вычисляем значение производной в точке x₀ = -1

Подставляем x₀ = -1 в производную:

f'(-1) = -\(\frac{1}{(-1)^2}\) + 2 = -\(\frac{1}{1}\) + 2 = -1 + 2 = 1

Ответ: 1