Найдите производные: 1) f(x) = 3x⁵ - 2x² + 4x 2) f(x) = √x ⋅ (2sin x + 1) 3) f(x) = (3x² - 2) / x³

Решение:

Чтобы найти производные функций, применим основные правила дифференцирования:

• Правило степенной функции: \( (x^n)' = n x^{n-1} \)
• Правило умножения: \( (u ∙ v)' = u'v + uv' \)
• Правило частного: \( \left(\frac{u}{v}\right)' = \frac{u'v - uv'}{v^2} \)
• Производная от константы: \( (c)' = 0 \)
• Производная от суммы/разности: \( (u ± v)' = u' ± v' \)
• Производная от константы, умноженной на функцию: \( (cu)' = cu' \)
• Производная от \( √{x} \): \( (√{x})' = \frac{1}{2√{x}} \)
• Производная от \( \text{sin } x \): \( (\text{sin } x)' = \text{cos } x \)

1) \( f(x) = 3x^5 - 2x^2 + 4x \)

• Применяем правила степенной функции и суммы/разности:
• \( f'(x) = (3x^5)' - (2x^2)' + (4x)' \)
• \( f'(x) = 3 ∙ 5x^{5-1} - 2 ∙ 2x^{2-1} + 4 ∙ 1x^{1-1} \)
• \( f'(x) = 15x^4 - 4x^1 + 4x^0 \)
• \( f'(x) = 15x^4 - 4x + 4 \)

2) \( f(x) = √{x} ∙ (2\text{sin } x + 1) \)

• Применяем правило умножения, где \( u = √{x} \) и \( v = 2\text{sin } x + 1 \).
• Найдем производные \( u' \) и \( v' \):
• \( u' = (√{x})' = \frac{1}{2√{x}} \)
• \( v' = (2\text{sin } x + 1)' = 2(\text{sin } x)' + (1)' = 2\text{cos } x + 0 = 2\text{cos } x \)
• Теперь подставим в формулу правила умножения:
• \( f'(x) = u'v + uv' \)
• \( f'(x) = \frac{1}{2√{x}}(2\text{sin } x + 1) + √{x}(2\text{cos } x) \)
• \( f'(x) = \frac{2\text{sin } x + 1}{2√{x}} + 2√{x}\text{cos } x \)

3) \( f(x) = \frac{3x^2 - 2}{x^3} \)

• Применяем правило частного, где \( u = 3x^2 - 2 \) и \( v = x^3 \).
• Найдем производные \( u' \) и \( v' \):
• \( u' = (3x^2 - 2)' = 3 ∙ 2x^{2-1} - (2)' = 6x - 0 = 6x \)
• \( v' = (x^3)' = 3x^{3-1} = 3x^2 \)
• Теперь подставим в формулу правила частного:
• \( f'(x) = \frac{u'v - uv'}{v^2} \)
• \( f'(x) = \frac{(6x)(x^3) - (3x^2 - 2)(3x^2)}{(x^3)^2} \)
• \( f'(x) = \frac{6x^4 - (9x^4 - 6x^2)}{x^6} \)
• \( f'(x) = \frac{6x^4 - 9x^4 + 6x^2}{x^6} \)
• \( f'(x) = \frac{-3x^4 + 6x^2}{x^6} \)
• Сократим на \( x^2 \) (при \( x e 0 \)):
• \( f'(x) = \frac{-3x^2 + 6}{x^4} \)

Ответ:

• 1) \( f'(x) = 15x^4 - 4x + 4 \)
• 2) \( f'(x) = \frac{2\text{sin } x + 1}{2√{x}} + 2√{x}\text{cos } x \)
• 3) \( f'(x) = \frac{6 - 3x^2}{x^4} \)