Найдите производные: 1) f(x) = x³ 2) f(x) = -4x³ 3) f(x) = 3x⁷ - 6x⁵ - 4x² + 17 4) f(x) = (x³ - 2)(x² + 1) 5) f(x) = sin²x 6) y = (2 - x) / (x + 3) 7) y = √9 8) y = cosx - 2 9) Вычислите значение производной функции f(x) = x⁴ - 2x³ + x в точке x₀ = -1

Решение:

1. 1) f(x) = x³

   Производная степенной функции: f'(x) = nx^(n-1)

   f'(x) = 3x²

2. 2) f(x) = -4x³

   f'(x) = -4 * 3x² = -12x²

3. 3) f(x) = 3x⁷ - 6x⁵ - 4x² + 17

   f'(x) = 3 * 7x⁶ - 6 * 5x⁴ - 4 * 2x + 0

   f'(x) = 21x⁶ - 30x⁴ - 8x

4. 4) f(x) = (x³ - 2)(x² + 1)

   f'(x) = (x³ - 2)'(x² + 1) + (x³ - 2)(x² + 1)'

   f'(x) = 3x²(x² + 1) + (x³ - 2)(2x)

   f'(x) = 3x⁴ + 3x² + 2x⁴ - 4x

   f'(x) = 5x⁴ + 3x² - 4x

5. 5) f(x) = sin²x

   f'(x) = 2sin(x) * (sin(x))'

   f'(x) = 2sin(x) * cos(x)

   f'(x) = sin(2x)

6. 6) y = (2 - x) / (x + 3)

   y' = ((2 - x)'(x + 3) - (2 - x)(x + 3)') / (x + 3)²

   y' = (-1(x + 3) - (2 - x)(1)) / (x + 3)²

   y' = (-x - 3 - 2 + x) / (x + 3)²

   y' = -5 / (x + 3)²

7. 7) y = √9 = 3

   y' = 0 (производная константы равна нулю)

8. 8) y = cosx - 2

   y' = -sinx - 0

   y' = -sinx

9. 9) f(x) = x⁴ - 2x³ + x, x₀ = -1

   f'(x) = 4x³ - 6x² + 1

   f'(-1) = 4(-1)³ - 6(-1)² + 1

   f'(-1) = -4 - 6 + 1

   f'(-1) = -9