Найдите производные Zxx, Zxy, Zyy функции z = ln(sin x + cos y).

Решение:

Смотри, как это работает:

• Сначала найдем первую частную производную функции z по x:

\[z'_x = \frac{1}{sin(x) + cos(y)} * (sin(x) + cos(y))'_x = \frac{cos(x)}{sin(x) + cos(y)}\]

• Теперь найдем первую частную производную функции z по y:

\[z'_y = \frac{1}{sin(x) + cos(y)} * (sin(x) + cos(y))'_y = \frac{-sin(y)}{sin(x) + cos(y)}\]

• Найдем вторую частную производную функции z по x дважды:

\[z''_{xx} = (\frac{cos(x)}{sin(x) + cos(y)})'_x = \frac{-sin(x) * (sin(x) + cos(y)) - cos(x) * cos(x)}{(sin(x) + cos(y))^2} = \frac{-sin^2(x) - sin(x)cos(y) - cos^2(x)}{(sin(x) + cos(y))^2} = \frac{-(1 + sin(x)cos(y))}{(sin(x) + cos(y))^2}\]

• Теперь найдем смешанную производную функции z по x, а затем по y:

\[z''_{xy} = (\frac{cos(x)}{sin(x) + cos(y)})'_y = \frac{0 - cos(x) * (-sin(y))}{(sin(x) + cos(y))^2} = \frac{cos(x)sin(y)}{(sin(x) + cos(y))^2}\]

• Найдем вторую частную производную функции z по y дважды:

\[z''_{yy} = (\frac{-sin(y)}{sin(x) + cos(y)})'_y = \frac{-cos(y) * (sin(x) + cos(y)) - (-sin(y)) * (-sin(y))}{(sin(x) + cos(y))^2} = \frac{-sin(x)cos(y) - cos^2(y) - sin^2(y)}{(sin(x) + cos(y))^2} = \frac{-(sin(x)cos(y) + 1)}{(sin(x) + cos(y))^2}\]

Ответ:

• \(z''_{xx} = \frac{-(1 + sin(x)cos(y))}{(sin(x) + cos(y))^2}\)
• \(z''_{xy} = \frac{cos(x)sin(y)}{(sin(x) + cos(y))^2}\)
• \(z''_{yy} = \frac{-(sin(x)cos(y) + 1)}{(sin(x) + cos(y))^2}\)