Найдите производные: X 31. y = x+1 2 2 1 32. y = x² + 1 sin x 33. y = X ex 34. y = X 2x +3 35. y = x-1

Для решения данных задач необходимо найти производные функций. Будем использовать правила дифференцирования.

31. $$y = \frac{x}{x+1}$$

Применяем правило дифференцирования частного: $$\left(\frac{u}{v}\right)' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$$

Здесь $$u = x$$, $$v = x+1$$. Следовательно, $$u' = 1$$, $$v' = 1$$

Тогда: $$y' = \frac{1 \cdot (x+1) - x \cdot 1}{(x+1)^2} = \frac{x + 1 - x}{(x+1)^2} = \frac{1}{(x+1)^2}$$

32. $$y = \frac{x^2 - 1}{x^2 + 1}$$

Применяем правило дифференцирования частного: $$\left(\frac{u}{v}\right)' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$$

Здесь $$u = x^2 - 1$$, $$v = x^2 + 1$$. Следовательно, $$u' = 2x$$, $$v' = 2x$$

Тогда: $$y' = \frac{2x \cdot (x^2 + 1) - (x^2 - 1) \cdot 2x}{(x^2 + 1)^2} = \frac{2x^3 + 2x - 2x^3 + 2x}{(x^2 + 1)^2} = \frac{4x}{(x^2 + 1)^2}$$

33. $$y = \frac{\sin x}{x}$$

Применяем правило дифференцирования частного: $$\left(\frac{u}{v}\right)' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$$

Здесь $$u = \sin x$$, $$v = x$$. Следовательно, $$u' = \cos x$$, $$v' = 1$$

Тогда: $$y' = \frac{\cos x \cdot x - \sin x \cdot 1}{x^2} = \frac{x \cos x - \sin x}{x^2}$$

34. $$y = \frac{e^x}{x}$$

Применяем правило дифференцирования частного: $$\left(\frac{u}{v}\right)' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$$

Здесь $$u = e^x$$, $$v = x$$. Следовательно, $$u' = e^x$$, $$v' = 1$$

Тогда: $$y' = \frac{e^x \cdot x - e^x \cdot 1}{x^2} = \frac{e^x(x - 1)}{x^2}$$

35. $$y = \frac{2x + 3}{x - 1}$$

Применяем правило дифференцирования частного: $$\left(\frac{u}{v}\right)' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$$

Здесь $$u = 2x + 3$$, $$v = x - 1$$. Следовательно, $$u' = 2$$, $$v' = 1$$

Тогда: $$y' = \frac{2 \cdot (x - 1) - (2x + 3) \cdot 1}{(x - 1)^2} = \frac{2x - 2 - 2x - 3}{(x - 1)^2} = \frac{-5}{(x - 1)^2}$$

Ответ:

1. $$y' = \frac{1}{(x+1)^2}$$
2. $$y' = \frac{4x}{(x^2 + 1)^2}$$
3. $$y' = \frac{x \cos x - \sin x}{x^2}$$
4. $$y' = \frac{e^x(x - 1)}{x^2}$$
5. $$y' = \frac{-5}{(x - 1)^2}$$