Найдите proj_b a: ã = (-4, 1, 2), b = (3, -1, -3)

Решение:

Чтобы найти проекцию вектора \( \vec{a} \) на вектор \( \vec{b} \), воспользуемся формулой:

\[ \text{proj}_{\vec{b}} \vec{a} = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{b}|^2} \vec{b} \]

Сначала найдём скалярное произведение векторов \( \vec{a} \) и \( \vec{b} \):

\[ \vec{a} \cdot \vec{b} = (-4)(3) + (1)(-1) + (2)(-3) = -12 - 1 - 6 = -19 \]

Затем найдём квадрат длины вектора \( \vec{b} \):

\[ |\vec{b}|^2 = 3^2 + (-1)^2 + (-3)^2 = 9 + 1 + 9 = 19 \]

Теперь подставим значения в формулу проекции:

\[ \text{proj}_{\vec{b}} \vec{a} = \frac{-19}{19} \vec{b} = -1 \cdot \vec{b} \]

Умножим вектор \( \vec{b} \) на -1:

\[ -1 \cdot (3, -1, -3) = (-3, 1, 3) \]

Таким образом, проекция вектора \( \vec{a} \) на вектор \( \vec{b} \) равна \( (-3, 1, 3) \).

Ответ: (-3, 1, 3)