Найдите промежутки возрастания и убывания и постройте графики функций (283–284). а) f(x) = x³ + 3x² – 9x + 1; б) f(x) = 4x³ – 1,5x⁴; в) f(x) = 2 + 9x + 3x² – x³; г) f(x) = x⁴ – 2x².

Решение:

Чтобы найти промежутки возрастания и убывания функции, нам нужно найти её производную, приравнять её к нулю, чтобы найти критические точки, а затем исследовать знак производной на интервалах, образованных этими точками.

а) \(f(x) = x^3 + 3x^2 - 9x + 1\)

1. Находим производную:
   \[ f'(x) = \frac{d}{dx}(x^3 + 3x^2 - 9x + 1) = 3x^2 + 6x - 9 \]
2. Приравниваем производную к нулю:
   \[ 3x^2 + 6x - 9 = 0 \]
   Разделим на 3:
   \[ x^2 + 2x - 3 = 0 \]
3. Находим корни квадратного уравнения (критические точки):
   Используем дискриминант:
   \[ D = b^2 - 4ac = 2^2 - 4(1)(-3) = 4 + 12 = 16 \]
   \[ \sqrt{D} = \sqrt{16} = 4 \]
   \[ x_1 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-2 - 4}{2(1)} = \frac{-6}{2} = -3 \]
   \[ x_2 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-2 + 4}{2(1)} = \frac{2}{2} = 1 \]
4. Исследуем знак производной:
   Точки -3 и 1 разбивают числовую ось на три интервала: \((-\infty, -3)\), \((-3, 1)\), \((1, \infty)\).
   
   • На интервале \((-\infty, -3)\), возьмем \(x = -4\): \(f'(-4) = 3(-4)^2 + 6(-4) - 9 = 3(16) - 24 - 9 = 48 - 24 - 9 = 15 > 0\). Функция возрастает.
   • На интервале \((-3, 1)\), возьмем \(x = 0\): \(f'(0) = 3(0)^2 + 6(0) - 9 = -9 < 0\). Функция убывает.
   • На интервале \((1, \infty)\), возьмем \(x = 2\): \(f'(2) = 3(2)^2 + 6(2) - 9 = 3(4) + 12 - 9 = 12 + 12 - 9 = 15 > 0\). Функция возрастает.

Вывод для а):

• Функция возрастает на интервалах \((-\infty, -3]\) и \([1, \infty)\).
• Функция убывает на интервале \([-3, 1]\).

б) \(f(x) = 4x^3 - 1.5x^4\)

1. Находим производную:
   \[ f'(x) = \frac{d}{dx}(4x^3 - 1.5x^4) = 12x^2 - 6x^3 \]
2. Приравниваем производную к нулю:
   \[ 12x^2 - 6x^3 = 0 \]
   Выносим общий множитель \(6x^2\):
   \[ 6x^2(2 - x) = 0 \]
3. Находим критические точки:
   \[ 6x^2 = 0 \Rightarrow x = 0 \]
   \[ 2 - x = 0 \Rightarrow x = 2 \]
4. Исследуем знак производной:
   Точки 0 и 2 разбивают числовую ось на три интервала: \((-\infty, 0)\), \((0, 2)\), \((2, \infty)\).
   
   • На интервале \((-\infty, 0)\), возьмем \(x = -1\): \(f'(-1) = 12(-1)^2 - 6(-1)^3 = 12(1) - 6(-1) = 12 + 6 = 18 > 0\). Функция возрастает.
   • На интервале \((0, 2)\), возьмем \(x = 1\): \(f'(1) = 12(1)^2 - 6(1)^3 = 12 - 6 = 6 > 0\). Функция возрастает.
   • На интервале \((2, \infty)\), возьмем \(x = 3\): \(f'(3) = 12(3)^2 - 6(3)^3 = 12(9) - 6(27) = 108 - 162 = -54 < 0\). Функция убывает.

Вывод для б):

• Функция возрастает на интервалах \((-\infty, 2]\).
• Функция убывает на интервале \([2, \infty)\).

в) \(f(x) = 2 + 9x + 3x^2 - x^3\)

1. Находим производную:
   \[ f'(x) = \frac{d}{dx}(2 + 9x + 3x^2 - x^3) = 9 + 6x - 3x^2 \]
2. Приравниваем производную к нулю:
   \[ -3x^2 + 6x + 9 = 0 \]
   Разделим на -3:
   \[ x^2 - 2x - 3 = 0 \]
3. Находим корни квадратного уравнения (критические точки):
   Используем дискриминант:
   \[ D = b^2 - 4ac = (-2)^2 - 4(1)(-3) = 4 + 12 = 16 \]
   \[ \sqrt{D} = \sqrt{16} = 4 \]
   \[ x_1 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{2 - 4}{2(1)} = \frac{-2}{2} = -1 \]
   \[ x_2 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{2 + 4}{2(1)} = \frac{6}{2} = 3 \]
4. Исследуем знак производной:
   Точки -1 и 3 разбивают числовую ось на три интервала: \((-\infty, -1)\), \((-1, 3)\), \((3, \infty)\).
   
   • На интервале \((-\infty, -1)\), возьмем \(x = -2\): \(f'(-2) = 9 + 6(-2) - 3(-2)^2 = 9 - 12 - 3(4) = 9 - 12 - 12 = -15 < 0\). Функция убывает.
   • На интервале \((-1, 3)\), возьмем \(x = 0\): \(f'(0) = 9 + 6(0) - 3(0)^2 = 9 > 0\). Функция возрастает.
   • На интервале \((3, \infty)\), возьмем \(x = 4\): \(f'(4) = 9 + 6(4) - 3(4)^2 = 9 + 24 - 3(16) = 9 + 24 - 48 = 33 - 48 = -15 < 0\). Функция убывает.

Вывод для в):

• Функция убывает на интервалах \((-\infty, -1]\) и \([3, \infty)\).
• Функция возрастает на интервале \([-1, 3]\).

г) \(f(x) = x^4 - 2x^2\)

1. Находим производную:
   \[ f'(x) = \frac{d}{dx}(x^4 - 2x^2) = 4x^3 - 4x \]
2. Приравниваем производную к нулю:
   \[ 4x^3 - 4x = 0 \]
   Выносим общий множитель \(4x\):
   \[ 4x(x^2 - 1) = 0 \]
   \[ 4x(x-1)(x+1) = 0 \]
3. Находим критические точки:
   \[ 4x = 0 \Rightarrow x = 0 \]
   \[ x - 1 = 0 \Rightarrow x = 1 \]
   \[ x + 1 = 0 \Rightarrow x = -1 \]
4. Исследуем знак производной:
   Точки -1, 0, 1 разбивают числовую ось на четыре интервала: \((-\infty, -1)\), \((-1, 0)\), \((0, 1)\), \((1, \infty)\).
   
   • На интервале \((-\infty, -1)\), возьмем \(x = -2\): \(f'(-2) = 4(-2)^3 - 4(-2) = 4(-8) + 8 = -32 + 8 = -24 < 0\). Функция убывает.
   • На интервале \((-1, 0)\), возьмем \(x = -0.5\): \(f'(-0.5) = 4(-0.5)^3 - 4(-0.5) = 4(-0.125) + 2 = -0.5 + 2 = 1.5 > 0\). Функция возрастает.
   • На интервале \((0, 1)\), возьмем \(x = 0.5\): \(f'(0.5) = 4(0.5)^3 - 4(0.5) = 4(0.125) - 2 = 0.5 - 2 = -1.5 < 0\). Функция убывает.
   • На интервале \((1, \infty)\), возьмем \(x = 2\): \(f'(2) = 4(2)^3 - 4(2) = 4(8) - 8 = 32 - 8 = 24 > 0\). Функция возрастает.

Вывод для г):

• Функция убывает на интервалах \((-\infty, -1]\) и \([0, 1]\).
• Функция возрастает на интервалах \([-1, 0]\) и \([1, \infty)\).

Построение графиков:

Для построения графиков нужно вычислить значения функции в критических точках и нескольких других точках, а также учесть найденные промежутки возрастания и убывания.

График для а) \(f(x) = x^3 + 3x^2 - 9x + 1\)

Критические точки: \(x = -3\) (локальный максимум), \(x = 1\) (локальный минимум).

\(f(-3) = (-3)^3 + 3(-3)^2 - 9(-3) + 1 = -27 + 27 + 27 + 1 = 28\).

\(f(1) = (1)^3 + 3(1)^2 - 9(1) + 1 = 1 + 3 - 9 + 1 = -4\).

График для б) \(f(x) = 4x^3 - 1.5x^4\)

Критические точки: \(x = 0\) (точка перегиба, но не экстремум), \(x = 2\) (локальный максимум).

\(f(0) = 0\).

\(f(2) = 4(2)^3 - 1.5(2)^4 = 4(8) - 1.5(16) = 32 - 24 = 8\).

График для в) \(f(x) = 2 + 9x + 3x^2 - x^3\)

Критические точки: \(x = -1\) (локальный минимум), \(x = 3\) (локальный максимум).

\(f(-1) = 2 + 9(-1) + 3(-1)^2 - (-1)^3 = 2 - 9 + 3 + 1 = -3\).

\(f(3) = 2 + 9(3) + 3(3)^2 - (3)^3 = 2 + 27 + 27 - 27 = 29\).

График для г) \(f(x) = x^4 - 2x^2\)

Критические точки: \(x = -1\) (локальный минимум), \(x = 0\) (локальный максимум), \(x = 1\) (локальный минимум).

\(f(-1) = (-1)^4 - 2(-1)^2 = 1 - 2 = -1\).

\(f(0) = 0^4 - 2(0)^2 = 0\).

\(f(1) = (1)^4 - 2(1)^2 = 1 - 2 = -1\).