Найдите промежутки возрастания и убывания и постройте графики функций (283–284). a) f (x)=x³+3x²-9x+1; в) f (x)=2+9x+3x²-x³; б) f (x)=4x³- 1,5x; г) f (x) = x⁴-2x².

Решение:

Чтобы найти промежутки возрастания и убывания функции, нужно найти её производную, приравнять её к нулю и решить получившееся уравнение. Затем с помощью числовой прямой определить знаки производной на интервалах.

а) \(f(x) = x^3 + 3x^2 - 9x + 1\)

1. Находим производную:\[ f'(x) = 3x^2 + 6x - 9 \]
2. Приравниваем производную к нулю:\[ 3x^2 + 6x - 9 = 0 \]Разделим на 3:\[ x^2 + 2x - 3 = 0 \]
3. Решаем квадратное уравнение:\[ (x+3)(x-1) = 0 \]Корни: \(x_1 = -3\), \(x_2 = 1\).
4. Определяем знаки производной:\[ \text{f'(x) > 0 при } x \in (-\infty; -3) \cup (1; \infty) \] \([\]f'(x) < 0 \text{ при } x \in (-3; 1) \]
   
5. Выводы:
   • Функция возрастает на интервалах \((-\infty; -3]\) и \([1; \infty)\).
   • Функция убывает на интервале \([-3; 1]\).

б) \(f(x) = 4x^3 - 1.5x^4\)

1. Находим производную:\[ f'(x) = 12x^2 - 6x^3 \]
2. Приравниваем производную к нулю:\[ 12x^2 - 6x^3 = 0 \]
3. Решаем уравнение:\[ 6x^2(2 - x) = 0 \]Корни: \(x_1 = 0\) (кратности 2), \(x_2 = 2\).
4. Определяем знаки производной:\[ \text{f'(x) > 0 при } x \in (-\infty; 2) \text{ (исключая x=0)} \]
   \[ \text{f'(x) < 0 при } x \in (2; \infty) \]
   
5. Выводы:
   • Функция возрастает на интервалах \((-\infty; 0)\) и \((0; 2]\).
   • Функция убывает на интервале \([2; \infty)\).

в) \(f(x) = 2 + 9x + 3x^2 - x^3\)

1. Находим производную:\[ f'(x) = 9 + 6x - 3x^2 \]
2. Приравниваем производную к нулю:\[ -3x^2 + 6x + 9 = 0 \]Разделим на -3:\[ x^2 - 2x - 3 = 0 \]
3. Решаем квадратное уравнение:\[ (x-3)(x+1) = 0 \]Корни: \(x_1 = -1\), \(x_2 = 3\).
4. Определяем знаки производной:\[ \text{f'(x) < 0 при } x \in (-\infty; -1) \cup (3; \infty) \]
   \[ \text{f'(x) > 0 при } x \in (-1; 3) \]
   
5. Выводы:
   • Функция возрастает на интервале \([-1; 3]\).
   • Функция убывает на интервалах \((-\infty; -1]\) и \([3; \infty)\).

г) \(f(x) = x^4 - 2x^2\)

1. Находим производную:\[ f'(x) = 4x^3 - 4x \]
2. Приравниваем производную к нулю:\[ 4x^3 - 4x = 0 \]
3. Решаем уравнение:\[ 4x(x^2 - 1) = 0 \]\[ 4x(x-1)(x+1) = 0 \]Корни: \(x_1 = -1\), \(x_2 = 0\), \(x_3 = 1\).
4. Определяем знаки производной:\[ \text{f'(x) < 0 при } x \in (-\infty; -1) \cup (0; 1) \]
   \[ \text{f'(x) > 0 при } x \in (-1; 0) \cup (1; \infty) \]
   
5. Выводы:
   • Функция возрастает на интервалах \([-1; 0]\) и \([1; \infty)\).
   • Функция убывает на интервалах \((-\infty; -1]\) и \([0; 1]\).

Графики функций для построения нужно будет нарисовать самостоятельно, используя найденные промежутки возрастания/убывания и точки экстремума.