3) Найдите промежутки выпук- лости и точки перегиба кривых: a) y=x3-12x²+145; 6) y=x3+ 1 +x²+3 3

Ответ: a) Функция выпукла вверх на промежутке (-∞; 4), выпукла вниз на промежутке (4; +∞), точка перегиба x = 4. б) Функция выпукла вверх на промежутке (-∞; -1), выпукла вниз на промежутке (-1; +∞), точка перегиба x = -1.

a) y = x³ - 12x² + 145

1. Находим первую производную: \[y' = (x^3 - 12x^2 + 145)' = 3x^2 - 24x\]
2. Находим вторую производную: \[y'' = (3x^2 - 24x)' = 6x - 24\]
3. Приравниваем вторую производную к нулю и находим корни: \[6x - 24 = 0\] \[6x = 24\] \[x = 4\]
4. Определяем знаки второй производной на числовой прямой. Отметим точку x = 4 на числовой прямой и определим знаки второй производной на промежутках:

           −∞                      +∞
   ----------(---)----------(+++)----------
             4
   

5. Определяем промежутки выпуклости и точку перегиба:
   • Функция выпукла вверх (вогнута) на промежутке, где вторая производная отрицательна: (-∞; 4)
   • Функция выпукла вниз (выпукла) на промежутке, где вторая производная положительна: (4; +∞)
   • Точка перегиба: x = 4

б) y = -1/3 x³ + x² + 3

1. Находим первую производную: \[y' = (-1/3 x^3 + x^2 + 3)' = -x^2 + 2x\]
2. Находим вторую производную: \[y'' = (-x^2 + 2x)' = -2x + 2\]
3. Приравниваем вторую производную к нулю и находим корни: \[-2x + 2 = 0\] \[-2x = -2\] \[x = 1\]
4. Определяем знаки второй производной на числовой прямой. Отметим точку x = 1 на числовой прямой и определим знаки второй производной на промежутках:

           −∞                      +∞
   ----------(+++)----------(---)----------
             1
   

5. Определяем промежутки выпуклости и точку перегиба:
   • Функция выпукла вверх (вогнута) на промежутке, где вторая производная положительна: (-∞; 1)
   • Функция выпукла вниз (выпукла) на промежутке, где вторая производная отрицательна: (1; +∞)
   • Точка перегиба: x = 1

Ответ: a) Функция выпукла вверх на промежутке (-∞; 4), выпукла вниз на промежутке (4; +∞), точка перегиба x = 4. б) Функция выпукла вверх на промежутке (-∞; 1), выпукла вниз на промежутке (1; +∞), точка перегиба x = 1.