Найдите Р (АВС)

Рассмотрим окружность. CK = 4, ON = 3.

Т.к. CK - перпендикулярна AB, то AK = KB, следовательно, CK - высота и медиана треугольника ABC.

Т.к. ON - перпендикулярна AC, то AN = NC, следовательно, ON - высота и медиана треугольника AOC.

Точка O - центр окружности, следовательно, OC = OB - радиусы, следовательно, треугольник ABC - равнобедренный и AC = BC.

Рассмотрим треугольник CNO. Он прямоугольный. По теореме Пифагора:

$$CO^2 = CN^2 + ON^2$$

Т.к. CN = AN, то AC = 2CN. CO = BO, AO = CO = BO.

Рассмотрим треугольник CKB. Он прямоугольный. По теореме Пифагора:

$$CB^2 = CK^2 + KB^2$$

Пусть радиус OC = x.

Рассмотрим треугольник CNO:

$$x^2 = CN^2 + 3^2$$

$$CN^2 = x^2 - 9$$

$$CN = \sqrt{x^2 - 9}$$

AC = 2CN

$$AC = 2\sqrt{x^2 - 9}$$

KB = AK

OK = OB - KB = x - 4

Рассмотрим треугольник AKO. Он прямоугольный. По теореме Пифагора:

$$AK^2 = AO^2 - OK^2$$

$$AK^2 = x^2 - (x - 4)^2$$

$$AK^2 = x^2 - (x^2 - 8x + 16)$$

$$AK^2 = x^2 - x^2 + 8x - 16$$

$$AK = \sqrt{8x - 16}$$

Следовательно, KB = AK

$$KB = \sqrt{8x - 16}$$

Рассмотрим треугольник CKB:

$$CB^2 = CK^2 + KB^2$$

$$CB^2 = 4^2 + (\sqrt{8x - 16})^2$$

$$CB^2 = 16 + 8x - 16$$

$$CB = \sqrt{8x}$$

Т.к. AC = CB, то

$$2\sqrt{x^2 - 9} = \sqrt{8x}$$

Возведем обе части уравнения в квадрат:

$$(2\sqrt{x^2 - 9})^2 = (\sqrt{8x})^2$$

$$4 \cdot (x^2 - 9) = 8x$$

$$4x^2 - 36 = 8x$$

$$4x^2 - 8x - 36 = 0$$

Разделим обе части уравнения на 4:

$$x^2 - 2x - 9 = 0$$

$$D = (-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-9) = 4 + 36 = 40$$

$$x_1 = \frac{2 + \sqrt{40}}{2} = \frac{2 + 2\sqrt{10}}{2} = 1 + \sqrt{10}$$

$$x_2 = \frac{2 - \sqrt{40}}{2} = \frac{2 - 2\sqrt{10}}{2} = 1 - \sqrt{10}$$ - не подходит, т.к. не может быть отрицательным.

$$x = 1 + \sqrt{10}$$

Т.к. CB = AC, то

$$AC = \sqrt{8(1 + \sqrt{10})} = \sqrt{8 + 8\sqrt{10}}$$

$$AB = 2 \cdot KB = 2\sqrt{8(1 + \sqrt{10}) - 16} = 2\sqrt{8 + 8\sqrt{10} - 16} = 2\sqrt{8\sqrt{10} - 8} = 2\sqrt{8(\sqrt{10} - 1)}$$

$$P = AB + BC + AC$$

$$P = 2\sqrt{8(\sqrt{10} - 1)} + \sqrt{8 + 8\sqrt{10}} + \sqrt{8 + 8\sqrt{10}} = 2\sqrt{8(\sqrt{10} - 1)} + 2\sqrt{8 + 8\sqrt{10}} =$$

$$= 4\sqrt{2(\sqrt{10} - 1)} + 4\sqrt{2 + 2\sqrt{10}} $$

Ответ: $$P = 4\sqrt{2(\sqrt{10} - 1)} + 4\sqrt{2 + 2\sqrt{10}} $$