Найдите Р_АВС, если АВ = 52.

В прямоугольном треугольнике ABC, вписанный круг имеет радиус r = 8. Сторона AB (гипотенуза) равна 52. Периметр прямоугольного треугольника P = a + b + c, где a и b - катеты, c - гипотенуза. Площадь треугольника S = 0.5 * a * b. Также площадь можно выразить через радиус вписанной окружности: S = r * p, где p - полупериметр. Полупериметр p = P/2. Следовательно, S = r * (P/2). Подставляя площадь через катеты, получаем 0.5 * a * b = r * (a + b + c) / 2. Умножая на 2, имеем a * b = r * (a + b + c). Известно, что для прямоугольного треугольника a + b = c + 2r. Подставляем это в уравнение: a * b = r * (c + 2r + c) = r * (2c + 2r). Также из теоремы Пифагора: a^2 + b^2 = c^2. Возведем в квадрат выражение a + b = c + 2r: (a + b)^2 = (c + 2r)^2 => a^2 + 2ab + b^2 = c^2 + 4cr + 4r^2. Заменяем a^2 + b^2 на c^2: c^2 + 2ab = c^2 + 4cr + 4r^2 => 2ab = 4cr + 4r^2 => ab = 2cr + 2r^2. Теперь у нас есть два выражения для ab: ab = r * (2c + 2r) и ab = 2cr + 2r^2. Они идентичны, что подтверждает правильность формулы a + b = c + 2r. Теперь найдем периметр. P = a + b + c. Мы знаем, что a + b = c + 2r. Подставляем: P = (c + 2r) + c = 2c + 2r. Нам дано, что c = AB = 52 и r = 8. P = 2 * 52 + 2 * 8 = 104 + 16 = 120. Ответ: 120.