Найдите радиус х.

Пусть радиус большей окружности \(R = 9\), радиус меньшей окружности \(r = x\), а расстояние между точками касания \(d = 12\).

Соединим центры окружностей и точки касания с общей касательной. Получим прямоугольную трапецию. Проведем высоту из центра меньшей окружности к радиусу большей окружности.

Получим прямоугольный треугольник, где гипотенуза равна \(R + r\), один катет равен \(d = 12\), а другой катет равен \(R - r\).

По теореме Пифагора:

\[(R + r)^2 = (R - r)^2 + d^2\]

\[(9 + x)^2 = (9 - x)^2 + 12^2\]

\[81 + 18x + x^2 = 81 - 18x + x^2 + 144\]

\[36x = 144\]

\[x = \frac{144}{36}\]

\[x = 4\]