Найдите радиус окружности, вписанной в ромб \(ABCD\), если диагональ \(AC\) ромба равна 48, а тангенс угла \(BCA\) равен 0,75.

Пошаговое решение:

1. Пусть \(O\) – точка пересечения диагоналей ромба. Рассмотрим прямоугольный треугольник \(BOC\). Тангенс угла \(BCA\) равен отношению противолежащего катета \(BO\) к прилежащему \(OC\). Знаем, что \(OC = \frac{AC}{2} = \frac{48}{2} = 24\). Тогда: \[\tan(\angle BCA) = \frac{BO}{OC} \] Подставляем известные значения: \[0.75 = \frac{BO}{24} \] \[BO = 0.75 \cdot 24 = 18\]
2. Диагонали ромба перпендикулярны, поэтому треугольник \(BOC\) прямоугольный. Найдем сторону ромба \(BC\) по теореме Пифагора: \[BC = \sqrt{BO^2 + OC^2} = \sqrt{18^2 + 24^2} = \sqrt{324 + 576} = \sqrt{900} = 30\]
3. Радиус вписанной в ромб окружности равен половине высоты ромба. Высота ромба, проведенная к стороне \(BC\), равна \(2 \cdot BO\), так как диагонали ромба в точке пересечения делятся пополам и являются биссектрисами углов. Значит, высота равна \(2 \cdot 18 = 36\). Тогда радиус вписанной окружности равен половине высоты: \[r = \frac{36}{2} = 18\]

Ответ: 18