Найдите радиус окружности, вписанной в ромб ABCD, если диагональ АС ромба равна 8, а тангенс угла ВСА равен 0,75.

Смотри, тут всё просто: нужно вспомнить свойства ромба и использовать тангенс угла, чтобы найти сторону ромба, а затем и его высоту, которая связана с радиусом вписанной окружности.

Пошаговое решение:

1. Обозначим сторону ромба за \( a \). Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный половиной диагонали AC, стороной ромба и высотой, опущенной из вершины C.
2. Тангенс угла BCA равен отношению противолежащего катета (половины диагонали AC) к прилежащему катету (половине стороны ромба):
   \[ tg(\angle BCA) = \frac{\frac{1}{2}AC}{a} \]
3. Подставим известные значения:
   \[ 0.75 = \frac{4}{a} \]
   Решим уравнение относительно \( a \):
   \[ a = \frac{4}{0.75} = \frac{16}{3} \]
4. Высота ромба равна произведению стороны ромба на синус угла BCA. Синус можно найти, зная тангенс:
   \[ sin(\angle BCA) = \frac{tg(\angle BCA)}{\sqrt{1 + tg^2(\angle BCA))}} = \frac{0.75}{\sqrt{1 + 0.75^2}} = \frac{0.75}{\sqrt{1 + 0.5625}} = \frac{0.75}{\sqrt{1.5625}} = \frac{0.75}{1.25} = 0.6 \]
5. Тогда высота ромба \( h \) равна:
   \[ h = a \cdot sin(\angle BCA) = \frac{16}{3} \cdot 0.6 = \frac{16}{3} \cdot \frac{3}{5} = \frac{16}{5} = 3.2 \]
6. Радиус вписанной окружности равен половине высоты:
   \[ r = \frac{h}{2} = \frac{3.2}{2} = 1.6 \]

Ответ: 1,6