Найдите радиус окружности, вписанной в ромб ABCD, если диагональ АС ромба равна 14, а тангенс угла ВСА равен 24/7.

В ромбе диагонали перпендикулярны и делятся пополам. Пусть O - точка пересечения диагоналей. Тогда AO = AC/2 = 14/2 = 7. В прямоугольном треугольнике BOC, tg(BCA) = OB/OC = OB/7 = 24/7, откуда OB = 24. Площадь ромба равна (1/2) * AC * BD = (1/2) * 14 * (2 * 24) = 336. Радиус вписанной окружности равен половине высоты ромба. Высота ромба h = Площадь / сторона. Сторона AB = sqrt(AO^2 + OB^2) = sqrt(7^2 + 24^2) = sqrt(49 + 576) = sqrt(625) = 25. Высота h = 336 / 25. Радиус r = h/2 = (336/25) / 2 = 168/25 = 6.72.