Найдите радиус окружности, вписанной в ромб ABCD, если диагональ АС ромба равна 30, а тангенс угла ВСА равен 4/3.

В ромбе диагонали перпендикулярны и делятся пополам. Пусть точка пересечения диагоналей - О. Тогда АО = ОС = 15. В прямоугольном треугольнике ВОС, tg(BCA) = OB/OC = 4/3. Следовательно, OB = (4/3) * 15 = 20. Радиус вписанной окружности равен высоте ромба, которая равна удвоенной площади треугольника BOC, деленной на гипотенузу BC. Площадь BOC = 0.5 * OB * OC = 0.5 * 20 * 15 = 150. BC = sqrt(OB^2 + OC^2) = sqrt(20^2 + 15^2) = sqrt(400 + 225) = sqrt(625) = 25. Высота ромба h = 2 * Площадь BOC / BC = 2 * 150 / 25 = 12. Радиус вписанной окружности r = h/2 = 12/2 = 6.